Элементы теории множеств. Близняков Н.М. - 31 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

У п р а ж н е н и е 3. Покажите, что декартово произведение двух
счетных множеств счетно.
Приведем еще один полезный факт.
Т е о р е м а 5. Всякое бесконечное множество равномощно его
объединению со счетным множеством.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть A є некоторое бесконечное мно-
жество, а B є какое-нибудь счетное множество. Тогда в силу теоремы 3
множество A имеет некоторое счетное подмножество C. Согласно теоре-
ме 4, множества C и C ∪B равномощны. Пусть g:C →C ∪B є некоторая
биекция. Если A = C, то утверждение справедливо, если A 6= C, то за-
дадим отображение f : A → A ∪ B равенством
f(x) =
(
x, если x ∈ A \ C,
g(x), если x ∈ C.
Ясно, что отображение f биективно.
¥
3. Множества мощности континуума. Следующее утверждение
показывает, что не всякое бесконечное множество является счетным.
Т е о р е м а 6 (Кантор). Множество действительных чисел интер-
вала (0, 1) несчетно.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Каждое число из интервала (0, 1) мож-
но записать в виде бесконечной десятичной дроби, причем не более чем
двумя способами. Точнее, числа вида
p
10
k
, где p, k ∈ N, p < 10
k
, и только
они, допускают два представления: одно є с нулем в периоде, а другое є
с девяткой в периоде (например, 0, 200 · · · = 0, 199 . . . ). Для чисел, име-
ющих две различные записи, выберем одну, не содержащую цифру 9
в периоде. Предположим теперь, что множество чисел интервала (0, 1)
счетно. Занумеруем их:
α
1
= 0, a
11
a
12
a
13
. . .
α
2
= 0, a
21
a
22
a
23
. . .
α
3
= 0, a
31
a
32
a
33
. . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(2)
31
   У п р а ж н е н и е 3. Покажите, что декартово произведение двух
счетных множеств счетно.
   Приведем еще один полезный факт.
   Т е о р е м а 5. В сякое бесконечное множество равномощно его
объединению со счетным множеством.
   До к а з а т е л ь с т в о. Пусть A є некоторое бесконечное мно-
жество, а B є какое-нибудь счетное множество. Тогда в силу теоремы 3
множество A имеет некоторое счетное подмножество C. Согласно теоре-
ме 4, множества C и C ∪B равномощны. Пусть g: C →C ∪B є некоторая
биекция. Если A = C, то утверждение справедливо, если A �= C, то за-
дадим отображение f : A → A ∪ B равенством
                           �
                             x, если x ∈ A \ C,
                   f (x) =
                             g(x), если x ∈ C.
   Ясно, что отображение f биективно.
                                                                                  �
   3. Множества мощности континуума. Следующее утверждение
показывает, что не всякое бесконечное множество является счетным.
   Т е о р е м а 6 (Кантор). Множество действительных чисел интер-
вала (0, 1) несчетно.
   До к а з а т е л ь с т в о. Каждое число из интервала (0, 1) мож-
но записать в виде бесконечной десятичной дроби, причем не более чем
                                             p
двумя способами. Точнее, числа вида         10k
                                                ,   где p, k ∈ N, p < 10k , и только
они, допускают два представления: одно є с нулем в периоде, а другое є
с девяткой в периоде (например, 0, 200 · · · = 0, 199 . . . ). Д
                                                               ля чисел, име-
ющих две различные записи, выберем одну, не содержащую цифру 9
в периоде. Предположим теперь, что множество чисел интервала (0, 1)
счетно. Занумеруем их:
                            α1 = 0, a11 a12 a13 . . .
                            α2 = 0, a21 a22 a23 . . .
                                                                                (2)
                            α3 = 0, a31 a32 a33 . . .
                             ...................


                                       31

Страницы