Элементы теории множеств. Близняков Н.М. - 30 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

Последнее утверждение показывает, что счетные множества явля-
ются «самыми маленькими» среди бесконечных множеств.
Т е о р е м а 4. Объединение конечного или счетного семейства
счетных множеств есть счетное множество.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть
A
1
, A
2
, . . . (1)
є счетные множества. Не ограничивая общности, можно считать, что
множества (1) попарно не пересекаются, иначе вместо них мы рассмотре-
ли бы множества A
1
, A
2
\ A
1
, A
3
\ (A
1
∪ A
2
), . . . (каждое из которых
конечно или счетно, по теореме 2), объединение которых совпадает с
объединением множеств (1). Все элементы множеств (1) запишем в виде
таблицы, поместив в i-й строке элементы множества A
i
. Поскольку мно-
жества (1) попарно не пересекаются, то среди элементов таблицы нет
одинаковых, поэтому элементы таблицы є это в точности все элементы
объединения множеств (1). Занумеруем элементы таблицы «по диагона-
лям», т. е. двигаясь в порядке, указанном на таблице стрелками, начиная
с элемента a
11
:
A
1
: a
11
→ a
12
a
13
→ a
14
. . .
. % .
A
2
: a
21
a
22
a
23
a
24
. . .
↓ % .
A
3
: a
31
a
32
a
33
a
34
. . .
.
A
4
: a
41
a
42
a
43
a
44
. . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ясно, что каждый элемент таблицы получит определенный номер, т. е.
будет установлена биекция между объединением множеств (1) и мно-
жеством N.
¥
30
   Последнее утверждение показывает, что счетные множества явля-
ются «самыми маленькими» среди бесконечных множеств.
   Т е о р е м а 4. Объединение конечного или счетного семейства
счетных множеств есть счетное множество.
   До к а з а т е л ь с т в о. Пусть

                                  A1 , A 2 , . . .                     (1)

є счетные множества. Не ограничивая общности, можно считать, что
множества (1) попарно не пересекаются, иначе вместо них мы рассмотре-
ли бы множества A1 , A2 \ A1 , A3 \ (A1 ∪ A2 ), . . . (каждое из которых
конечно или счетно, по теореме 2), объединение которых совпадает с
объединением множеств (1). В се элементы множеств (1) запишем в виде
таблицы, поместив в i-й строке элементы множества A i . Поскольку мно-
жества (1) попарно не пересекаются, то среди элементов таблицы нет
одинаковых, поэтому элементы таблицы є это в точности все элементы
объединения множеств (1). Занумеруем элементы таблицы «по диагона-
лям», т. е. двигаясь в порядке, указанном на таблице стрелками, начиная
с элемента a11 :

                   A1 : a11 → a12                a13 → a14 . . .
                              �           �            �
                   A2 : a21       a22            a23       a24 . . .
                         ↓    �           �
                   A3 : a31       a32            a33       a34 . . .
                              �
                   A4 : a41       a42            a43       a44 . . .
                   ...   ... ... ... ... ... ... ......
Ясно, что каждый элемент таблицы получит определенный номер, т. е.
будет установлена биекция между объединением множеств (1) и мно-
жеством N.

                                                                        �


                                        30

Страницы