Элементы теории множеств. Близняков Н.М. - 28 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

жеству B, если существует биективное отображение f : A → B. Ясно,
что если множество A равномощно множеству B, то и множество B
равномощно множеству A, поэтому употребляют также выражение
«множества A и B равномощны». Если A и B равномощны, то говорят,
что они имеют одну и ту же мощность, и пишут |A| = |B|.
У п р а ж н е н и е 1. Покажите, что для всякой совокупности мно-
жеств отношение равномощности множеств является отношением экви-
валентности на данной совокупности.
Два конечных множества имеют одну и ту же мощность, если они
состоят из одного и того же числа элементов. Поэтому понятие мощности
множества можно рассматривать как обобщение понятия числа элемен-
тов конечного множества. Мощность є это то общее, что есть у любых
двух равномощных множеств. Следует отметить, что для бесконечных
множеств некоторые свойства мощности отличаются от свойств числа
элементов конечных множеств. Например, если B є подмножество ко-
нечного множества A и B 6= A, то |B| 6= |A|. Для бесконечных множеств
это свойство не имеет места: N 6= 2N, но |N| = |2N| (см. ниже пример 1 ).
Рассмотрим важные классы множеств.
2. Счетные множества. Множество называется счетным, если
оно равномощно множеству N натуральных чисел. Мощность счетного
множества обозначают ℵ
0
(ℵ є первая буква древнееврейского алфави-
та, называемая «алеф»).
Всякое биективное отображение f : A → N задает естественную
нумерацию элементов множества A: элемент a получает номер n = f(a)
(пишут a
n
). Обратно, всякая нумерация множества A числами множес-
тва N задает биекцию A → N. Поэтому множество счетно, если его
элементы можно занумеровать числами натурального ряда.
П р и м е р 1. Множество 2N всех четных положительных чисел
счетно. Биекцией f : N → 2N может служить отображение, определен-
ное равенством f(n) = 2n, ∀ n ∈ N.
У п р а ж н е н и е 2. Докажите счетность множеств Z всех целых
28
жеству B, если существует биективное отображение f : A → B. Ясно,
что если множество A равномощно множеству B, то и множество B
равномощно множеству A, поэтому употребляют также выражение
«множества A и B равномощны». Если A и B равномощны, то говорят,
что они имеют одну и ту же мощность, и пишут |A| = |B|.
   У п р а ж н е н и е 1. Покажите, что для всякой совокупности мно-
жеств отношение равномощности множеств является отношением экви-
валентности на данной совокупности.
   Д
   ва конечных множества имеют одну и ту же мощность, если они
состоят из одного и того же числа элементов. Поэтому понятие мощности
множества можно рассматривать как обобщение понятия числа элемен-
тов конечного множества. Мощность є это то общее, что есть у любых
двух равномощных множеств. Следует отметить, что для бесконечных
множеств некоторые свойства мощности отличаются от свойств числа
элементов конечных множеств. Например, если B є подмножество ко-
нечного множества A и B �= A, то |B| �= |A|. Д
                                             ля бесконечных множеств
это свойство не имеет места: N �= 2N, но |N| = |2N| (см. ниже пример 1 ).
   Рассмотрим важные классы множеств.
   2. Счетные множества. Множество называется счетным, если
оно равномощно множеству N натуральных чисел. Мощность счетного
множества обозначают ℵ0 (ℵ є первая буква древнееврейского алфави-
та, называемая «алеф»).
   В сякое биективное отображение f : A → N задает естественную
нумерацию элементов множества A: элемент a получает номер n = f (a)
(пишут an ). Обратно, всякая нумерация множества A числами множес-
тва N задает биекцию A → N. Поэтому множество счетно, если его
элементы можно занумеровать числами натурального ряда.
   П р и м е р 1. Множество 2N всех четных положительных чисел
счетно. Б иекцией f : N → 2N может служить отображение, определен-
ное равенством f (n) = 2n, ∀ n ∈ N.
   У п р а ж н е н и е 2. Д
                          окажите счетность множеств Z всех целых


                                      28

Страницы