Элементы теории множеств. Близняков Н.М. - 26 стр.

                         § 3.Сравнение множеств

    1. Задача классификации. Сравнение множеств. Понятие
о мощности множества. Одной из важных задач всякой науки яв-
ляется задача к л а с с и ф и к а ц и и, которая на языке теории множеств
заключается в разбиении множества всех объектов, исследуемых в рам-
ках какой-то проблемы, на непересекающиеся классы, в каждом из ко-
торых сосредоточены похожие, т. е. эквивалентные в некотором смысле
объекты, точнее є объекты, имеющие одинаковые свойства в пределах
данной проблемы. Например, классификация множества Z целых чисел,
в связи с задачей нахождения остатка при делении целого числа на 10,
состоит из 10 классов, в каждом из которых содержатся все целые чис-
ла, оканчивающиеся на одну и ту же цифру. Классификация позволяет
упорядочить полученные знания об объектах и избавляет от необходи-
мости изучать отдельно каждый из объектов множества: в каждом из
классов разбиения выделяют по одному какому-нибудь представителю
(множество всех таких представителей часто также называют классифи-
кацией) и для выяснения свойств любого интересующего объекта иссле-
дуют свойства представителя из того же класса, что и рассматриваемый
объект.
    Рассмотрим теперь задачу классификации всех объектов теории мно-
жеств, т. е. разбиение множества всех возможных множеств. Но уже в
постановке задачи мы сталкиваемся с неожиданной трудностью. Мно-
жество всех возможных множеств, несмотря на простоту описания, обла-
дает свойством, не присущим типичным множествам: будучи множест-
вом, содержащим в качестве элементов все возможные множества, оно
с о д е р ж и т и с е б я в к а ч е с т в е э л е м е н т а. В п. 5 мы покажем, что
в качестве множества такой объект некорректен, допущение его в каче-
стве множества позволяет делать выводы, противоречащие друг другу
(там же мы обсудим причины этого парадокса). Таким образом, мы не
располагаем описанием множества всех объектов теории множеств. По



                                        26