Элементы теории множеств. Близняков Н.М. - 27 стр.

этой причине при рассмотрении задачи классификации мы ограничим-
ся любой совокупностью множеств, заданной без противоречий, состав
которой не вызывает сомнений.
   В теории множеств изучают свойства множеств, не зависящие от
свойств элементов, из которых они состоят. Исследуя множества, отвле-
каются от свойств (элиминируют свойства) элементов, составляющих
рассматриваемые множества. Рассмотрим задачу классификации мно-
жеств при таком подходе обезличивания элементов. Какие множества в
такой ситуации следует считать эквивалентными? При элиминации всех
свойств элементов возможность различения элементов обеспечивают их
имена («этикетки»), которые, разумеется, могут быть выбраны разными
способами. Поэтому естественно не различать множества A и B, если
возможно «переклеить этикетки» с элементов множества B на элементы
множества A, т. е. если можно переименовать элементы множества A
именами элементов множества B так, что имя каждого из элементов
множества B будет использовано и притом только один раз. На языке
отображений процедура переименования элементов множества A озна-
чает задание отображения из A в B, а тот факт, что имя каждого из
элементов множества B будет использовано и притом только один раз,
означает биективность этого отображения. Описанный способ сравнения
множеств по принципу биективности был внедрён в математику Канто-
ром. Д
     ля конечных множеств он эквивалентен сравнению множеств по
числу их элементов; именно так до Кантора сравнивали множества, в
том числе и бесконечные. Однако сравнение множеств по числу элемен-
тов не позволяет различать бесконечные множества: все бесконечные
множества имеют одно и то же є бесконечное число элементов и, значит,
попадают в один класс. В отличие от способа сравнения множеств по
числу элементов, способ сравнения по принципу биективности позволяет
получить тонкую классификацию бесконечных множеств, имеющую бес-
конечное число классов.
   Множество A называется эквивалентным или равномощным мно-


                                 27