Элементы теории множеств. Близняков Н.М. - 29 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

чисел и 2N + 1 всех нечетных положительных чисел.
Т е о р е м а 1. Множество Q рациональных чисел счетно.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Всякое рациональное число однозначно
записывается в виде несократимой дроби p/q, q > 0. Назовем сумму
|p| + q высотой рационального числа p/q. Ясно, что для всякого n ∈ N
число дробей, имеющих высоту n, конечно. Занумеруем все рациональ-
ные числа по возрастанию высоты, т. е. сначала выпишем единственное
число 0/1 высоты 1, затем все числа −1/1, 1/1, 0/2 высоты 2 и т. д. При
этом каждое рациональное число получит некоторый номер, т. е. будет
задано биективное отображение N → Q.
¥
Приведем некоторые свойства счетных множеств.
Т е о р е м а 2. Всякое подмножество счетного множества конечно
или счетно.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть A є счетное множество и B є его
подмножество. Если B = ∅, то утверждение справедливо. Пусть B 6= ∅.
Занумеруем элементы множества A : a
1
, a
2
, . . . . Пусть a
n
1
, a
n
2
, . . . є
те из них, которые принадлежат B. Если среди чисел n
1
, n
2
, . . . есть
наибольшее, то B конечно, если наибольшего нет, то B счетно, так как
его члены a
n
1
, a
n
2
, . . . занумерованы числами 1, 2, . . . .
¥
Т е о р е м а 3. Всякое бесконечное множество имеет счетное подмно-
жество.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть A є бесконечное множество. Выберем
в A какой-либо элемент a
1
. В бесконечном множестве A \ {a
1
} выберем
элемент a
2
, затем в бесконечном множестве A \{a
1
, a
2
} выберем элемент
a
3
и т. д. Таким образом мы построим множество {a
1
, a
2
, a
3
, . . . }, которое
является счетным подмножеством множества A.
¥
29
чисел и 2N + 1 всех нечетных положительных чисел.
    Т е о р е м а 1. Множество Q рациональных чисел счетно.
    До к а з а т е л ь с т в о. В сякое рациональное число однозначно
записывается в виде несократимой дроби p/q, q > 0. Назовем сумму
|p| + q высотой рационального числа p/q. Ясно, что для всякого n ∈ N
число дробей, имеющих высоту n, конечно. Занумеруем все рациональ-
ные числа по возрастанию высоты, т. е. сначала выпишем единственное
число 0/1 высоты 1, затем все числа −1/1, 1/1, 0/2 высоты 2 и т. д. При
этом каждое рациональное число получит некоторый номер, т. е. будет
задано биективное отображение N → Q.

                                                                             �

    Приведем некоторые свойства счетных множеств.
    Т е о р е м а 2. В сякое подмножество счетного множества конечно
или счетно.
    До к а з а т е л ь с т в о. Пусть A є счетное множество и B є его
подмножество. Если B = ∅, то утверждение справедливо. Пусть B �= ∅.
Занумеруем элементы множества A : a1 , a2 , . . . . Пусть an1 , an2 , . . . є
те из них, которые принадлежат B. Если среди чисел n 1 , n2 , . . . есть
наибольшее, то B конечно, если наибольшего нет, то B счетно, так как
его члены an1 , an2 , . . . занумерованы числами 1, 2, . . . .

                                                                             �

    Т е о р е м а 3. В сякое бесконечное множество имеет счетное подмно-
жество.
    До к а з а т е л ь с т в о. Пусть A є бесконечное множество. В ыберем
в A какой-либо элемент a1 . В бесконечном множестве A \ {a1 } выберем
элемент a2 , затем в бесконечном множестве A \ {a1 , a2 } выберем элемент
a3 и т. д. Таким образом мы построим множество {a1 , a2 , a3 , . . . }, которое
является счетным подмножеством множества A.

                                                                             �


                                       29

Страницы