Элементы теории множеств. Близняков Н.М. - 24 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

из одного элемента є образа элемента y при отображении f
−1
.
3. Свойства операций над отображениями. Укажем некоторые
свойства, необходимые в дальнейшем.
Т е о р е м а 4. Операция суперпозиции отображений ассоциативна,
т. е. если f : X → Y , g : Y → Z, h : Z → H є три отображения, то
(h ◦ g) ◦ f = h ◦ (g ◦ f). (7)
Д о к а з а т е л ь с т в о. Равенство (7) следует из равенств
((h◦g)◦f)(x) = (h◦g)(f(x)) = h(g(f(x))) = h((g◦f)(x)) = (h◦(g◦f))(x).
¥
Т е о р е м а 5. Пусть f : X → Y , g : Y → Z є отображения и
h = g ◦ f. Тогда:
1) если f и g инъективны, то и h инъективно;
2) если f и g сюръективны, то и h сюръективно;
3) если f и g биективны, то и h биективно.
Д о к а з а т е л ь с т в о. 1) Пусть h(x
1
) = h(x
2
). Тогда
h(x
1
) = (g ◦ f)(x
1
) = g(f(x
1
))
||
h(x
2
) = (g ◦ f)(x
2
) = g(f(x
2
)),
откуда g(f(x
1
)) = g(f(x
2
)). Из последнего равенства, в силу инъектив-
ности g, получаем f(x
1
) = f(x
2
), откуда, в силу инъективности f, следу-
ет x
1
= x
2
.
2) Пусть z є некоторый элемент из Z. В силу сюръективности g,
существует элемент y ∈ Y такой, что g(y) = z, а в силу сюръективности
f, существует элемент x ∈ X такой, что f(x) = y. Поэтому h(x) =
= (g ◦ f)(x) = g(f(x)) = g(y) = z, т. е. h(x) = z.
Утверждение 3) является следствием утверждений 1), 2).
¥
24
из одного элемента є образа элемента y при отображении f −1 .
    3. Свойства операций над отображениями. Укажем некоторые
свойства, необходимые в дальнейшем.
    Т е о р е м а 4. Операция суперпозиции отображений ассоциативна,
т. е. если f : X → Y , g : Y → Z, h : Z → H є три отображения, то

                             (h ◦ g) ◦ f = h ◦ (g ◦ f ).                 (7)

    До к а з а т е л ь с т в о. Равенство (7) следует из равенств

((h◦g)◦f )(x) = (h◦g)(f (x)) = h(g(f (x))) = h((g◦f )(x)) = (h◦(g◦f ))(x).

                                                                          �

    Т е о р е м а 5. Пусть f : X → Y , g : Y → Z є отображения и
h = g ◦ f . Тогда:
    1) если f и g инъективны, то и h инъективно;
    2) если f и g сюръективны, то и h сюръективно;
    3) если f и g биективны, то и h биективно.
    До к а з а т е л ь с т в о. 1) Пусть h(x1 ) = h(x2 ). Тогда

                     h(x1 ) = (g ◦ f )(x1 ) = g(f (x1 ))
                        ||
                     h(x2 ) = (g ◦ f )(x2 ) = g(f (x2 )),

откуда g(f (x1 )) = g(f (x2 )). Из последнего равенства, в силу инъектив-
ности g, получаем f (x1 ) = f (x2 ), откуда, в силу инъективности f , следу-
ет x1 = x2 .
    2) Пусть z є некоторый элемент из Z. В силу сюръективности g,
существует элемент y ∈ Y такой, что g(y) = z, а в силу сюръективности
f , существует элемент x ∈ X такой, что f (x) = y. Поэтому h(x) =
= (g ◦ f )(x) = g(f (x)) = g(y) = z, т. е. h(x) = z.
    Утверждение 3) является следствием утверждений 1), 2).

                                                                          �



                                         24

Страницы