Элементы теории множеств. Близняков Н.М. - 22 стр.

тва X в множество Y . Отображение g : Y → X называется обратным
к отображению f , если
                          g ◦ f = IX , f ◦ g = IY .                      (5)
   Отображение, для которого существует обратное отображение, назы-
вается обратимым.
   У п р а ж н е н и е 4. Приведите пример отображений f : X → Y,
g : Y → X таких, что g ◦ f = IX , но f ◦ g �= IY .
   Т е о р е м а 3. Отображение обратимо тогда и только тогда, когда
оно биективно.
   Д
   оказательство теоремы опирается на следующее утверждение.
   Л е м м а. Пусть f : X → Y, g : Y → X є отображения. Тогда:
   1) если g ◦ f инъективно, то и f инъективно;
   2) если g ◦ f сюръективно, то и g сюръективно.
   До к а з а т е л ь с т в о. 1) Если x1 , x2 ∈ X и f (x1 ) = f (x2 ), то
(g ◦ f )(x1 ) = g(f (x1 )) = g(f (x2 )) = (g ◦ f )(x2 ). Так как отображение
g ◦ f инъективно, то из последних равенств получаем x 1 = x2 , т. е.
отображение f инъективно.
   2) Пусть x є какой-нибудь элемент из X. В силу сюръективности
отображения g ◦ f существует элемент x� ∈ X такой, что (g ◦ f )(x� ) = x,
т. е. g(y) = x, где y = f (x� ), следовательно, g сюръективно.
                                                                          �
   С л е д с т в и е. Если отображения f : X → Y, g : Y → X
удовлетворяют условию
                                g ◦ f = IX ,                             (6)
то f инъективно, а g сюръективно.
   До к а з а т е л ь с т в о т е о р е м ы 3. Н е о б х о д и м о с т ь.
Пусть отображение f : X → Y обратимо и g : Y → X є обратное
отображение к f. Согласно следствию леммы, из равенства g ◦ f = I X
следует инъективность f, а из равенства f ◦ g = IY є сюръективность
f, т. е. f биективно.


                                     22