Элементы теории множеств. Близняков Н.М. - 20 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

З а м е ч а н и е 1. Образ пересечения множеств, вообще говоря, не
равен пересечению образов. Рассмотрим, например постоянное отобра-
жение f : X → Y , f(x) = y
0
, x ∈ X. Пусть x
1
, x
2
∈ X, x
1
6= x
2
.
Положим A = {x
1
}, B = {x
2
}. Тогда A∩B = ∅ и, значит, f(A∩B) = ∅,
но f(A) ∩ f(B) = {y
0
}.
Т е о р е м а 2. Для всякого отображения f : X → Y и любых
множеств A и B из Y прообраз объединения (пересечения) равен объеди-
нению (пересечению) прообразов этих множеств, т. е.
f
−1
(A ∪ B) = f
−1
(A) ∪ f
−1
(B), (3)
f
−1
(A ∩ B) = f
−1
(A) ∩ f
−1
(B). (4)
Д о к а з а т е л ь с т в о. Докажем равенство (3). Пусть x ∈
∈ f
−1
(A∪B). Это означает, что f(x) ∈ A∪B, поэтому элемент f( x) при-
надлежит по крайней мере одному из множеств A или B. Тогда элемент
x принадлежит хотя бы одному из множеств f
−1
(A) или f
−1
(B), значит
x ∈ f
−1
(A) ∪ f
−1
(B). Обратно, если x ∈ f
−1
(A) ∪ f
−1
(B), то элемент x
принадлежит по крайней мере одному из множеств f
−1
(A) или f
−1
(B).
Поэтому элемент f(x) принадлежит хотя бы одному из множеств A или
B, следовательно, f(x) ∈ A ∪ B, значит x∈f
−1
(A ∪ B).
Докажем равенство (4). Если x ∈ f
−1
(A ∩ B), то f(x) ∈ A ∩ B, т. е.
f(x) ∈ A и f(x) ∈ B, следовательно, x ∈ f
−1
(A) и x ∈ f
−1
(B), значит
x ∈ f
−1
(A)∩f
−1
(B). Обратно, если x ∈ f
−1
(A)∩f
−1
(B), то x ∈ f
−1
(A) и
x ∈ f
−1
(B), следовательно, f(x) ∈ A и f(x) ∈ B, поэтому f(x) ∈ A ∩ B,
значит x ∈ f
−1
(A ∩ B).
¥
У п р а ж н е н и е 3. Докажите, что прообраз дополнения равен
дополнению прообраза. Справедливо ли аналогичное утверждение для
образа дополнения?
З а м е ч а н и е 2. Язык отображений удобен для задания разбие-
ний множества. Всякое отображение задает разбиение и, обратно, всякое
20
   З а м е ч а н и е 1. Образ пересечения множеств, вообще говоря, не
равен пересечению образов. Рассмотрим, например постоянное отобра-
жение f : X → Y , f (x) = y0 , x ∈ X. Пусть x1 , x2 ∈ X, x1 �= x2 .
Положим A = {x1 }, B = {x2 }. Тогда A∩B = ∅ и, значит, f (A∩B) = ∅,
но f (A) ∩ f (B) = {y0 }.
   Т е о р е м а 2. Д
                    ля всякого отображения           f : X → Y и любых
множеств A и B из Y прообраз объединения (пересечения) равен объеди-
нению (пересечению) прообразов этих множеств, т. е.

                     f −1 (A ∪ B) = f −1 (A) ∪ f −1 (B),                 (3)

                     f −1 (A ∩ B) = f −1 (A) ∩ f −1 (B).                 (4)
   До к а з а т е л ь с т в о. Д
                               окажем равенство (3). Пусть              x ∈
∈ f −1 (A∪B). Это означает, что f (x) ∈ A∪B, поэтому элемент f (x) при-
надлежит по крайней мере одному из множеств A или B. Тогда элемент
x принадлежит хотя бы одному из множеств f −1 (A) или f −1 (B), значит
x ∈ f −1 (A) ∪ f −1 (B). Обратно, если x ∈ f −1 (A) ∪ f −1 (B), то элемент x
принадлежит по крайней мере одному из множеств f −1 (A) или f −1 (B).
Поэтому элемент f (x) принадлежит хотя бы одному из множеств A или
B, следовательно, f (x) ∈ A ∪ B, значит x ∈f −1 (A ∪ B).
   окажем равенство (4). Если x ∈ f −1 (A ∩ B), то f (x) ∈ A ∩ B, т. е.
   Д
f (x) ∈ A и f (x) ∈ B, следовательно, x ∈ f −1 (A) и x ∈ f −1 (B), значит
x ∈ f −1 (A)∩f −1 (B). Обратно, если x ∈ f −1 (A)∩f −1 (B), то x ∈ f −1 (A) и
x ∈ f −1 (B), следовательно, f (x) ∈ A и f (x) ∈ B, поэтому f (x) ∈ A ∩ B,
значит x ∈ f −1 (A ∩ B).

                                                                           �

   У п р а ж н е н и е 3. Д
                          окажите, что прообраз дополнения равен
дополнению прообраза. Справедливо ли аналогичное утверждение для
образа дополнения?
   З а м е ч а н и е 2. Язык отображений удобен для задания разбие-
ний множества. В сякое отображение задает разбиение и, обратно, всякое


                                     20

Страницы