Элементы теории множеств. Близняков Н.М. - 18 стр.

прообразом (полным прообразом) множества B и обозначается f −1 (B).
Ясно, что f (A) = ∅ тогда и только тогда, когда A = ∅. Отметим, что
прообраз f −1 (B) может быть пустым множеством и в том случае, когда
B �= ∅, точнее f −1 (B) = ∅ тогда и только тогда, когда B ∩ f (X) = ∅
(убедитесь!).
    Отображения f : X → Y , g : X � → Y � называют равными и пишут
f = g, если X = X � , Y = Y � и f (x) = g(x) для всякого x ∈ X.
    У п р а ж н е н и е 1. Покажите, что для всякого отображения
f : X → Y и любых подмножеств A ⊂ X, B ⊂ Y справедливо равенство
и включение f (f −1 (B)) = B ∩ f (X), f −1 (f (A)) ⊃ A. Приведите пример,
когда f −1 (f (A)) �= A.
    П р и м е р 1. Пусть X є некоторое множество. Отображение
X → X, переводящее каждый элемент x ∈ X в себя, называется тож-
дественным (или единичным) и обозначается IX или просто I (когда
это не может привести к путанице). Таким образом, I X (x) = x, ∀ x ∈ X.
    П р и м е р 2. Пусть X, Y є некоторые множества и y0 є некоторый
элемент из Y . Отображение f : X → Y , определенное равенством f (x) =
= y0 , ∀ x ∈ X, называется постоянным.
    П р и м е р 3. Пуcть X є некоторое непустое множество. В сякое
отображение f : N → X называется последовательностью элементов
множества X. Элемент f (n) обозначается xn , а сама последовательность
обозначается {x1 , x2 , . . . } или {xn }.
    П р и м е р 4. В сякое отображение f : X1 × · · · × Xn → Y , n ≥ 2,
определенное на произведении множеств, называется отображением
(функцией) n переменных.
    Рассмотрим наиболее общие классы отображений. Отображение
f : X → Y называется инъективным (или инъекцией), если для любых
двух различных элементов x1 , x2 ∈ X их образы f (x1 ), f (x2 ) также раз-
личны, т. е. из равенства f (x1 ) = f (x2 ) следует x1 = x2 ; иначе говоря,
если прообраз f −1 (y) всякого элемента y ∈ Y состоит не более чем из
одного элемента. Отображение f : X → Y называется сюръективным


                                         18