Элементы теории множеств. Близняков Н.М. - 17 стр.

                         § 2. Отображения

   1. Отображения множеств. Естественным обобщением понятия
функции, вводимого в анализе, является понятие отображения є одно
из важнейших понятий математики.
   Пусть X, Y є непустые множества. Отображением множества X в
множество Y называется правило, по которому каждому элементу из X
поставлен в соответствие вполне определенный элемент из Y .
   Отображения обозначают буквами. Д
                                   ля отображения f , действую-
щего из X в Y, используют символическую запись f : X → Y ; множе-
ство X называют областью определения, а множество Y є областью
                                        f
значений отображения f . Запись a �→ b означает, что элементу a ∈ X
при отображении f : X → Y соответствует элемент b ∈ Y . В место запи-
     f
си a �→ b используют также более краткую запись a �→ b, когда ясно, о
каком отображении идёт речь.
   Задание соответствия элементу a ∈ X элемента b ∈ Y эквивалентно
заданию упорядоченной пары (a, b) ∈ X ×Y. Поэтому понятие отображе-
ния можно определить также следующим образом: подмножество f де-
картова произведения X × Y называется отображением из X в Y , если
для всякого элемента a ∈ X существует и единственен элемент b ∈ Y
такой, что (a, b) ∈ f.
   Если a є элемент из X, то отвечающий ему элемент b при отображе-
нии f : X → Y называется образом элемента a (при отображении f ) и
обозначается f (a). Совокупность всех элементов из X, образом которых
является данный элемент b ∈ Y , называется прообразом (полным прооб-
разом) элемента b и обозначается f −1 (b).
   Пусть A є некоторое подмножество множества X; множество
{f (a) : a ∈ A} называется образом множества A и обозначается f (A).
Образ f (X) области определения X отображения f называют также
образом отображения f и обозначают Imf . Если B є некоторое под-
множество множества Y , то множество {f −1 (b) : b ∈ B} называется



                                   17