Элементы теории множеств. Близняков Н.М. - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

Упражнения
1. Каких из подмножеств у множества из 10 элементов больше: из 3
элементов или из 7?
2. Старейший математик среди шахматистов и старейший шахма-
тист среди математиков є это один и тот же человек или (возможно)
разные?
3. Покажите равносильность следующих трех соотношений: A ⊂ B,
A ∩ B = B, A ∪ B = B.
4. Покажите, что A ∩ B = A \ (A \ B).
5. Докажите, что произведение дистрибутивно относительно объеди-
нения и относительно пересечения:
A × (B ∪ C) = (A × B) ∪ (A × C), (B ∪ C) × A = (B × A) ∪ (C × A);
A × (B ∩ C) = (A × B) ∩ (A × C), (B ∩ C) × A = (B × A) ∩ (C × A).
6. Докажите, что для любых множеств A, B, C справедливы равен-
ства
(A ∪ B) \ C = (A \ C) ∪ (B \ C),
(A ∩ B) \ C = (A \ C) ∩ (B \ C),
а равенства
C \ (A ∪ B) = (C \ A) ∪ (C \ B),
C \ (A ∩ B) = (C \ A) ∩ (C \ B)
в общем случае неверны (т. е. не выполнено одно из условий дистрибу-
тивности разности относительно объединения и относительно пересече-
ния).
7. На множестве R действительных чисел зададим следующее бинар-
ное отношение R : a ∼
R
b, если x − y ∈ Z. Докажите, что R є отношение
эквивалентности, опишите элементы фактор-множества R/R.
8. Пусть n ≥ 1 є некоторое целое число. На множестве Z целых
чисел зададим следующее бинарное отношение R : p ∼
R
q, если число p−q
делится на n. Докажите, что R є отношение эквивалентности, опишите
15
                           Упражнения

   1. Каких из подмножеств у множества из 10 элементов больше: из 3
элементов или из 7?
   2. Старейший математик среди шахматистов и старейший шахма-
тист среди математиков є это один и тот же человек или (возможно)
разные?
   3. Покажите равносильность следующих трех соотношений: A ⊂ B,
A ∩ B = B, A ∪ B = B.
   4. Покажите, что A ∩ B = A \ (A \ B).
   5. Д
      окажите, что произведение дистрибутивно относительно объеди-
нения и относительно пересечения:
A × (B ∪ C) = (A × B) ∪ (A × C), (B ∪ C) × A = (B × A) ∪ (C × A);
A × (B ∩ C) = (A × B) ∩ (A × C), (B ∩ C) × A = (B × A) ∩ (C × A).
   6. Д
      окажите, что для любых множеств A, B, C справедливы равен-
ства
                  (A ∪ B) \ C = (A \ C) ∪ (B \ C),
                  (A ∩ B) \ C = (A \ C) ∩ (B \ C),
а равенства
                  C \ (A ∪ B) = (C \ A) ∪ (C \ B),
                  C \ (A ∩ B) = (C \ A) ∩ (C \ B)
в общем случае неверны (т. е. не выполнено одно из условий дистрибу-
тивности разности относительно объединения и относительно пересече-
ния).
   7. На множестве R действительных чисел зададим следующее бинар-
ное отношение R : a ∼
                    R
                      b, если x − y ∈ Z. Д
                                         окажите, что R є отношение
эквивалентности, опишите элементы фактор-множества R/R.
   8. Пусть n ≥ 1 є некоторое целое число. На множестве Z целых
чисел зададим следующее бинарное отношение R : p ∼
                                                 R
                                                   q, если число p−q
делится на n. Д
              окажите, что R є отношение эквивалентности, опишите



                                    15

Страницы