Элементы теории множеств. Близняков Н.М. - 13 стр.

и ассоциативны:
                     (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C),
                     (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C).
   Кроме того, они взаимно дистрибутивны, т. е. пересечение дистрибу-
тивно относительно объединения:

                   (A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C)                  (1)

и объединение дистрибутивно относительно пересечения:

                  (A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C).                  (2)

   Проверим, например, равенство (1). Пусть элемент x принадлежит
множеству, стоящему в левой части равенства (1), т. е. x ∈ (A ∪ B) ∩ C.
Это означает, что x ∈ C и x принадлежит по крайней мере одному из
множеств A или B. Тогда x принадлежит по крайней мере одному из
множеств A ∩ C или B ∩ C, и, значит, x ∈ (A ∩ C) ∪ (B ∩ C). Обратно,
пусть x ∈ (A ∩ C) ∪ (B ∩ C). Тогда x принадлежит по крайней мере
одному из множеств A ∩ C или B ∩ C. Значит, x ∈ C, и, кроме того, x
принадлежит A или B, т. е. x ∈ A ∪ B. Следовательно, x ∈ (A ∪ B) ∩ C.
Равенство (1) доказано. Аналогично доказывается равенство (2).
   Ясно, что операция симметрической разности множеств коммутатив-
на, а операции разности и произведения множеств не коммутативны.
   Операция произведения множеств ассоциативна по определению.
   У п р а ж н е н и е 1. Покажите, что операция симметрической
разности множеств ассоциативна, а операция разности множеств не ассо-
циативна.
   Из свойств дистрибутивности для операций ∪, ∩, \, �, ×, кроме
указанных выше, отметим еще необходимое нам в дальнейшем свойство
дистрибутивности пересечения относительно симметрической разности:

                   (A�B) ∩ C = (A ∩ C)�(B ∩ C).                     (3)

   У п р а ж н е н и е 2. Д
                          окажите равенство (3).


                                  13