Элементы теории множеств. Близняков Н.М. - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

П р и м е р 6. В данной группе людей можно задать бинарное
отношение, «отметив» пары по принципу знакомства людей из пары
(«отношение знакомства»).
Бинарное отношение R в множестве A называется отношением эк-
вивалентности, если оно обладает следующими свойствами:
1) a ∼
R
a ∀ a ∈ A (рефлексивность);
2) если a ∼
R
b, то b ∼
R
a (симметричность);
3) если a ∼
R
b и b ∼
R
c, то a ∼
R
c (транзитивность).
Для данного отношения эквивалентности R в множестве A и всяко-
го элемента a ∈ A обозначим [a] є множество всех элементов x из A ,
эквивалентных элементу a : x ∼
R
a, и назовем классом эквивалентности
элемента a (по отношению эквивалентности R).
Т е о р е м а 1. Пуcть A є некоторое множество и R є некоторое
отношение эквивалентности в A. Тогда семейство {[a]}
a∈A
классов явля-
ется разбиением множества A.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Всякий элемент a ∈ A в силу рефлексивно-
сти принадлежит классу [a], поэтому
S
a∈A
[a] = A. Для проверки второго
условия покажем, что для любых элементов a, b ∈ A классы [a] и [b]
либо не пересекаются, либо совпадают. Пусть [a] ∩ [b] 6= ∅ и c ∈ [a] ∩ [b].
Пусть x є какой-нибудь элемент из [a], т. е. x ∼
R
a (рис. 8).
x
a
bc
[a ] [b]
A
Рис. 8
11
   П р и м е р 6. В данной группе людей можно задать бинарное
отношение, «отметив» пары по принципу знакомства людей из пары
(«отношение знакомства»).
   Б инарное отношение R в множестве A называется отношением эк-
вивалентности, если оно обладает следующими свойствами:
   1) a ∼
        R
          a ∀ a ∈ A (рефлексивность);
   2) если a ∼
             R
               b, то b ∼
                       R
                         a (симметричность);
   3) если a ∼
             R
               bиb∼
                  R
                    c, то a ∼
                            R
                              c (транзитивность).
   Д
   ля данного отношения эквивалентности R в множестве A и всяко-
го элемента a ∈ A обозначим [a] є множество всех элементов x из A,
эквивалентных элементу a : x ∼
                             R
                               a, и назовем классом эквивалентности
элемента a (по отношению эквивалентности R).
   Т е о р е м а 1. Пуcть A є некоторое множество и R є некоторое
отношение эквивалентности в A. Тогда семейство {[a]} a∈A классов явля-
ется разбиением множества A.
   До к а з а т е л ь с т в о. В сякий элемент a ∈ A в силу рефлексивно-
                                          �
сти принадлежит классу [a], поэтому         [a] = A. Д
                                                     ля проверки второго
                                          a∈A
условия покажем, что для любых элементов a, b ∈ A классы [a] и [b]
либо не пересекаются, либо совпадают. Пусть [a] ∩ [b] �= ∅ и c ∈ [a] ∩ [b].
Пусть x є какой-нибудь элемент из [a], т. е. x ∼
                                               R
                                                 a (рис. 8).



                                a


                          x               c           b

                               [a]              [b]

                                                          A

                                     Рис. 8



                                     11

Страницы