Элементы теории множеств. Близняков Н.М. - 12 стр.

По условию c ∼
             R
               a, в силу симметричности, имеем a ∼
                                                 R
                                                   c. Из отношений
x ∼
  R
    a, a ∼
         R
           c, c ∼
                R
                  b, в силу транзитивности, получаем x ∼
                                                       R
                                                         b, т. е.
x ∈ [b], поэтому [a] ⊂ [b]. Аналогично доказывается обратное включение
[b] ⊃ [a]. Следовательно, [a] = [b].

                                                                       �

   Таким образом, всякое отношение эквивалентности задает разбие-
ние. С другой стороны, всякое разбиение {Bα }α∈I множества A можно
задать с помощью отношения эквивалентности, считая, что a ∼
                                                          R
                                                            b тогда и
только тогда, когда элемент a принадлежит тому же множеству разбие-
ния {Bα }α∈I , что и элемент b. В этом случае семейство {Bα }α∈I совпада-
ет с семейством классов эквивалентности {[a]}a∈A . Фактор-множество
множества A, заданное отношением эквивалентности R, называют фак-
тор-множеством множества A по отношению эквивалентности R и
обозначают A/R.
   П р и м е р 7. На плоскости P зафиксируем некоторую прямую l и
зададим во множестве точек P следующее отношение эквивалентности
R : a ∼
      R
        b, если прямая, параллельная l, проходящая через точку b,
содержит точку a. Фактор-множество P/R состоит из всех прямых плос-
кости P , параллельных прямой l.
   П р и м е р 8. «Отношение знакомства», приведенное в примере 6, не
является отношением эквивалентности, поскольку не обладает свойст-
вом транзитивности.
   3. Свойства операций над множествами. Д
                                         ля операций ∪, ∩, \,
�, × над множествами справедливы многие привычные свойства опера-
ций сложения и умножения над числами.
   Например, операции объединения и пересечения множеств по самому
своему определению коммутативны:

                              A ∪ B = B ∪ A,

                              A∩B =B∩A


                                       12