Элементы теории множеств. Близняков Н.М. - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

Важную роль в теории множеств играет принцип двойственности,
основанный на двух равенствах є формулах де Моргана:
1) дополнение объединения равно пересечению дополнений
X \
[
α
A
α
=
\
α
(X \ A
α
); (4)
2) дополнение пересечения равно объединению дополнений
X \
\
α
A
α
=
[
α
(X \ A
α
) (5)
(в равенствах (4), (5) все множества семейства {A
α
} являются подмно-
жествами множества X).
У п р а ж н е н и е 3. Покажите справедливость равенств (4), (5).
П р и н ц и п д в о й с т в е н н о с т и заключается в следующем: из вся-
кого равенства, относящегося к системе подмножеств фиксированного
множества, можно получить другое равенство (называемое двойствен-
ным к исходному), если заменить в нём все объединяемые и пересека-
емые множества их дополнениями, объединения множеств є пересече-
ниями, а пересечения є объединениями.
П р е д у п р е ж д е н и е. При применении принципа двойственности
нельзя совершать указанные замены множеств и знаков ∪ и ∩ в отдель-
ных частях («уменьшаемом» и «вычитаемом») неразделимых символов
разностей множеств, а также в симметрических разностях множеств.
Например, множество (A∪B)\(D∩F ) следует заменить на C
X
³
(A ∪ B)\
\(D ∩ F )
´
, а не на
³
(C
X
A) ∩ (C
X
B)
´
\
³
(C
X
D) ∪ (C
X
F )
´
.
П р и м е р 9. Для любых подмножеств A, B всякого множества X
справедливо равенство
(A \ B) ∪ (B \ A) = (A ∪ B) \ (A ∩ B)
(покажите!). Применяя принцип двойственности к последнему равен-
ству, получаем равенство
³
C
X
(A \ B)
´
∩
³
C
X
(B \ A)
´
= C
X
³
(A ∪ B) \ (A ∩ B)
´
.
14
   В ажную роль в теории множеств играет принцип двойственности,
основанный на двух равенствах є формулах де Моргана:
   1) дополнение объединения равно пересечению дополнений
                         �       �
                      X\    Aα = (X \ Aα );                              (4)
                              α           α

   2) дополнение пересечения равно объединению дополнений
                          �       �
                      X\     Aα = (X \ Aα )                              (5)
                              α           α

(в равенствах (4), (5) все множества семейства {Aα } являются подмно-
жествами множества X).
   У п р а ж н е н и е 3. Покажите справедливость равенств (4), (5).
   П р и н ц и п д в о й с т в е н н о с т и заключается в следующем: из вся-
кого равенства, относящегося к системе подмножеств фиксированного
множества, можно получить другое равенство (называемое двойствен-
ным к исходному), если заменить в нём все объединяемые и пересека-
емые множества их дополнениями, объединения множеств є пересече-
ниями, а пересечения є объединениями.
   П р е д у п р е ж д е н и е. При применении принципа двойственности
нельзя совершать указанные замены множеств и знаков ∪ и ∩ в отдель-
ных частях («уменьшаемом» и «вычитаемом») неразделимых символов
разностей множеств, а также в симметрических разностях � множеств.
Например, множество (A∪B)\(D∩F ) следует заменить на C X (A ∪ B)\
         �         �               � �                �
\(D ∩ F ) , а не на (CX A) ∩ (CX B) \ (CX D) ∪ (CX F ) .
   П р и м е р 9. Д
                  ля любых подмножеств A, B всякого множества X
справедливо равенство

                 (A \ B) ∪ (B \ A) = (A ∪ B) \ (A ∩ B)

(покажите!). Применяя принцип двойственности к последнему равен-
ству, получаем равенство
        �           � �          �    �                 �
          CX (A \ B) ∩ CX (B \ A) = CX (A ∪ B) \ (A ∩ B) .


                                     14

Страницы