Элементы теории множеств. Близняков Н.М. - 19 стр.

(или сюръекцией), если для всякого элемента y ∈ Y существует элемент
x ∈ X такой, что f (x) = y, т. е. f (X) = Y ; иначе говоря, если прообраз
f −1 (y) всякого элемента y ∈ Y не пуст. Отображение f : X → Y называ-
ется биективным (или биекцией), если оно инъективно и сюръективно
одновременно, т. е. если прообраз f −1 (y) всякого элемента y ∈ Y состоит
ровно из одного элемента.
    У п р а ж н е н и е 2. Д
                           окажите, что если           X є конечное мно-
жество, то инъективность отображения f : X → X равносильна его
сюръективности.
    Установим некоторые свойства отображений.
    Т е о р е м а 1. Д
                     ля всякого отображения           f : X → Y и любых
множеств A и B из X образ объединения равен объединению образов
этих множеств, а образ пересечения содержится в пересечении образов,
т. е.
                         f (A ∪ B) = f (A) ∪ f (B),                      (1)
                         f (A ∩ B) ⊂ f (A) ∩ f (B).                      (2)
    До к а з а т е л ь с т в о. Д
                                окажем равенство (1). Пусть   y ∈ f (A ∪ B).
Тогда y = f (x) для некоторого x ∈ A ∪ B. Так как элемент x принадле-
жит по крайней мере одному из множеств A или B, то элемент y = f (x)
принадлежит по крайней мере одному из множеств f (A) или f (B), и,
значит, y ∈ f (A) ∪ f (B). Обратно, если y ∈ f (A) ∪ f (B), то элемент
y принадлежит по крайней мере одному из множеств f (A) или f (B),
следовательно, по крайней мере в одном из множеств A или B найдется
элемент x такой, что y = f (x). Тогда x ∈ A ∪ B, поэтому y = f (x) ∈
∈ f (A ∪ B).
    Д
    окажем включение (2). Пусть y ∈ f (A ∩ B). Тогда y = f (x) для
некоторого x ∈ A ∩ B. Таким образом, x ∈ A и x ∈ B, следовательно,
f (x) ∈ f (A) и f (x) ∈ f (B), значит y = f (x) ∈ f (A) ∩ f (B).

                                                                          �



                                      19