Элементы теории множеств. Близняков Н.М. - 21 стр.

разбиение можно задать при помощи некоторого отображения. Д
                                                          ействи-
тельно, если f : X → Y є отображение, то семейство {f −1 (y): y ∈f (X)},
очевидно, является разбиением множества X. Обратно, пусть X є неко-
торое множество и {Aα }α∈I є некоторое его разбиение. Обозначим через
Y множество подмножеств {Aα }α∈I . Зададим отображение π : X → Y ,
ставя в соответствие каждому элементу x ∈ X тот класс (т. е. элемент
из Y ), которому x принадлежит. Тогда семейство {π −1 (y) : y ∈ Y } сов-
падает с семейством {Aα }α∈I .
    2. Конструирование отображений. Из данных отображений мо-
жно конструировать другие отображения. Приведем некоторые способы
конструирования, необходимые в дальнейшем.
    1◦ . С у ж е н и е о т о б р а ж е н и я («дочерний объект»). Пусть
f : X → Y є отображение и A є подмножество множества X. Отобра-
жение f |A : A → Y , определенное равенством f |A (x) = f (x), x ∈ A,
называется сужением (или ограничением) отображения f на множес-
тво A.
    П р и м е р 5. Пусть R+ є множество всех положительных действи-
тельных чисел, а R− є множество всех отрицательных действительных
чисел. Тогда для функции f : R → R, f (x) = |x| имеем: f |R+ (x) = x,
f |R− (x) = −x.
    2◦ . С у п е р п о з и ц и я о т о б р а ж е н и й. Пусть X, Y, Z є множества
и f : X → Y , g : Y → Z є отображения. Суперпозицией (или компози-
цией) отображений f и g называется отображение g ◦ f : X → Z, опре-
деленное равенством

                        (g ◦ f )(x) = g(f (x)), ∀ x ∈ X.

    П р и м е р 6. Рассмотрим функции f, g : R → R, f (x) = x2 , g(x) =
                                                                               2
= 2x . Суперпозицией g ◦ f : R → R является функция (g ◦ f )(x) = 2 x ,
а суперпозицией f ◦ g : R → R є функция (f ◦ g)(x) = 22x . (Здесь
g ◦ f �= f ◦ g !)
    3◦ . О б р а т н о е о т о б р а ж е н и е. Пусть f є отображение множес-


                                       21