Элементы теории множеств. Близняков Н.М. - 23 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

Д о с т а т о ч н о с т ь. Если отображение f : X → Y биективно, то
для всякого элемента y ∈ Y прообраз f
−1
(y) состоит из одного элемента
множества X. Зададим отображение g : Y → X равенством g(y)=f
−1
(y)
для всякого y ∈ Y . Тогда (f ◦ g)(y) = f(g(y)) = f(f
−1
(y)) = y, т. е.
f ◦ g = I
Y
; (g ◦ f)(x) = g(f(x)) = f
−1
(f(x)) = x, т. е. g ◦ f = I
X
.
Следовательно, g є обратное отображение к f.
¥
З а м е ч а н и е 3. Отображение не может иметь более одного
обратного отображения. Действительно, если g : Y → X є отображение,
обратное к отображению f : X → Y, то, в силу биективности f, для
всякого элемента y ∈ Y прообраз f
−1
(y) состоит из одного элемента,
который, в силу условия f(g(y)) = y, равен g(y). Таким образом, обрат-
ное отображение к f определено однозначно, его обозначают в тради-
циях алгебры f
−1
.
П р и м е р 7. Обратным к отображению f : R → R, f(x) = x
2k−1
,
k ∈ N, является отображение f
−1
(x) = x
1
2k−1
. Для отображения
g : R → R, g(x) = x
2k
, k ∈ N, обратное отображение не определено,
поскольку g не биективно.
П р и м е р 8. Для всякого множества X имеем I
−1
X
= I
X
. Всякое
постоянное отображение f : X → Y множества X, состоящего более
чем из одного элемента, не биективно, и, значит, отображение f
−1
не
определено.
Ясно, что для всякого биективного отображения f обратное к нему
отображение f
−1
также биективно и (f
−1
)
−1
= f.
З а м е ч а н и е 4. Для всякого отображения f : X → Y полный
прообраз элемента y ∈ Y обозначается f
−1
(y). Если же отображение f
биективно, то определено обратное отображение f
−1
: Y → X, и запись
f
−1
(y) можно понимать также как образ элемента y при отображении
f
−1
. Однако такое совпадение обозначений к путанице не приводит, по-
скольку для биективного отображения полный прообраз f
−1
(y) состоит
23
   До с т а т о ч н о с т ь. Если отображение f : X → Y биективно, то
для всякого элемента y ∈ Y прообраз f −1 (y) состоит из одного элемента
множества X. Зададим отображение g : Y → X равенством g(y) =f −1 (y)
для всякого y ∈ Y . Тогда (f ◦ g)(y) = f (g(y)) = f (f −1 (y)) = y, т. е.
f ◦ g = IY ; (g ◦ f )(x) = g(f (x)) = f −1 (f (x)) = x, т. е. g ◦ f = IX .
Следовательно, g є обратное отображение к f .

                                                                        �

   З а м е ч а н и е 3. Отображение не может иметь более одного
обратного отображения. Д
                       ействительно, если g : Y → X є отображение,
обратное к отображению f : X → Y, то, в силу биективности f, для
всякого элемента y ∈ Y прообраз f −1 (y) состоит из одного элемента,
который, в силу условия f (g(y)) = y, равен g(y). Таким образом, обрат-
ное отображение к f определено однозначно, его обозначают в тради-
циях алгебры f −1 .
   П р и м е р 7. Обратным к отображению f : R → R, f (x) = x2k−1 ,
                                           1
k ∈ N, является отображение f −1 (x) = x 2k−1 . Д
                                                ля отображения
g : R → R, g(x) = x2k , k ∈ N, обратное отображение не определено,
поскольку g не биективно.
                  ля всякого множества X имеем IX−1 = IX . В сякое
   П р и м е р 8. Д
постоянное отображение f : X → Y множества X, состоящего более
чем из одного элемента, не биективно, и, значит, отображение f −1 не
определено.
   Ясно, что для всякого биективного отображения f обратное к нему
отображение f −1 также биективно и (f −1 )−1 = f .
   З а м е ч а н и е 4. Д
                        ля всякого отображения f : X → Y полный
прообраз элемента y ∈ Y обозначается f −1 (y). Если же отображение f
биективно, то определено обратное отображение f −1 : Y → X, и запись
f −1 (y) можно понимать также как образ элемента y при отображении
f −1 . Однако такое совпадение обозначений к путанице не приводит, по-
скольку для биективного отображения полный прообраз f −1 (y) состоит


                                    23

Страницы