Элементы теории множеств. Близняков Н.М. - 32 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

Рассмотрим число β = 0, b
1
b
2
b
3
· · · ∈ (0, 1), где b
1
є любая цифра от
1 до 8, отличная от a
11
, b
2
є любая цифра от 1 до 8, отличная от a
22
и т. д. Так как b
n
6= a
nn
для всякого n ∈ N, то число β отлично от
каждого из чисел (2), т. е. β /∈ (0, 1). Противоречие.
¥
Множество называется континуальным или множеством мощности
континуума, если оно равномощно множеству всех действительных чи-
сел интервала (0, 1). Мощность континуального множества обозначают
c (це готическое).
П р и м е р 2. Всякий интервал (a, b), множество R действитель-
ных чисел и множество R
+
положительных действительных чисел име-
ют мощность континуума. Биекциями могут служить отображения:
f : (0, 1) → (a, b), f(x) = a + x(b − a); g : R
+
→ (0, 1), g(x) =
1
x+1
,
h : R → (0, 1), h(x) =
1
2
x
+1
.
У п р а ж н е н и е 4. Покажите, что всякий отрезок [a, b] имеет
мощность континуума.
4. О равенстве и неравенстве мощностей. Говорят, что мощ-
ность множества A не больше мощности множества B, и пишут
|A| ≤ |B|, если множество A равномощно некоторому подмножеству
множества B. Если, кроме того, |A| 6= |B|, то говорят, что мощность
множества A меньше мощности множества B, и пишут |A| < |B|.
Следующее утверждение является одним из основных в теории мно-
жеств.
Т е о р е м а 7 (Кантор ҷ Бернштейн). Если |A| ≤ |B| и |B| ≤ |A|,
то |A| = |B|.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть f : A → B
1
, g : B → A
1
є
некоторые биективные отображения множеств A, B на некоторые под-
множества B
1
, A
1
множеств B, A соответственно. Построим биективное
отображение h : A → B. Не ограничивая общности, можно считать, что
32
   Рассмотрим число β = 0, b1 b2 b3 · · · ∈ (0, 1), где b1 є любая цифра от
1 до 8, отличная от a11 , b2 є любая цифра от 1 до 8, отличная от a22
и т. д. Так как bn �= ann для всякого n ∈ N, то число β отлично от
каждого из чисел (2), т. е. β ∈
                              / (0, 1). Противоречие.

                                                                         �

   Множество называется континуальным или множеством мощности
континуума, если оно равномощно множеству всех действительных чи-
сел интервала (0, 1). Мощность континуального множества обозначают
c (це готическое).
   П р и м е р 2. В сякий интервал (a, b), множество R действитель-
ных чисел и множество R+ положительных действительных чисел име-
ют мощность континуума. Б иекциями могут служить отображения:
                                                                        1
f : (0, 1) → (a, b), f (x) = a + x(b − a); g : R+ → (0, 1), g(x) =     x+1 ,
                           1
h : R → (0, 1), h(x) =   2x +1 .
   У п р а ж н е н и е 4. Покажите, что всякий отрезок [a, b] имеет
мощность континуума.
   4. О равенстве и неравенстве мощностей. Говорят, что мощ-
ность множества A не больше мощности множества B, и пишут
|A| ≤ |B|, если множество A равномощно некоторому подмножеству
множества B. Если, кроме того, |A| �= |B|, то говорят, что мощность
множества A меньше мощности множества B, и пишут |A| < |B|.
   Следующее утверждение является одним из основных в теории мно-
жеств.
   Т е о р е м а 7 (Кантор ҷ Б ернштейн). Если |A| ≤ |B| и |B| ≤ |A|,
то |A| = |B|.
   До к а з а т е л ь с т в о. Пусть      f : A → B 1 , g : B → A1 є
некоторые биективные отображения множеств A, B на некоторые под-
множества B1 , A1 множеств B, A соответственно. Построим биективное
отображение h : A → B. Не ограничивая общности, можно считать, что


                                    32

Страницы