Элементы теории множеств. Близняков Н.М. - 34 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

следовательно, f
−1
(B
неч
) ⊂ A
чет
, f
−1
(B
∞
) ⊂ A
∞
, т. е. f(A
чет
) ⊃
⊃ B
неч
, f(A
∞
) ⊃ B
∞
. Таким образом, f(A
чет
) = B
неч
, f(A
∞
) = B
∞
.
Аналогичным образом для отображения g : B → A
1
имеет место равен-
ство g(B
чет
) = A
неч
, т. е. g
−1
(A
неч
) = B
чет
. Зададим теперь биектив-
ное отображение h : A → B по правилу
h(x) =
(
f(x), если x ∈ A
чет
∪ A
∞
;
g
−1
(x), если x ∈ A
неч
.
¥
Теорема Кантора ҷ Бернштейна позволяет значительно упрощать до-
казательства равномощности множеств. Например, для доказательства
равномощности круга и кольца достаточно выбрать в кольце какой-ни-
будь круг, а в круге є какое-нибудь кольцо и, учитывая, что любые
два круга и любые два кольца биективны, воспользоваться теоремой
Кантора ҷ Бернштейна.
У п р а ж н е н и е 5. Покажите, что любые интервал (a, b), полуин-
тервал [c, d) и отрезок [g, h] равномощны.
Мы рассмотрели два класса бесконечных множеств: счетные множе-
ства и множества мощности континуума. Оказалось, что среди бесконеч-
ных множеств счетные являются «самыми маленькими». Следующая
теорема показывает, что множества мощности континуума не «самые
большие».
Т е о р е м а 8 (Кантор). Мощность всякого множества A меньше
мощности множества 2
A
всех его подмножеств.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Если A = ∅, то утверждение справедливо.
Пусть A 6= ∅ и C =
n
{a} : a ∈ A
o
є множество всех одноэлементных
подмножеств множества A. Отображение f : A → C, определенное ра-
венством f(a) = {a}, a ∈ A, очевидно, является биекцией множества
A на подмножество C множества 2
A
. Покажем теперь, что |A| 6= |2
A
|.
Предположим противное. Пусть g : A → 2
A
є биективное отображение.
34
следовательно, f −1 (Bнеч ) ⊂ Aчет , f −1 (B∞ ) ⊂ A∞ , т. е. f (Aчет ) ⊃
⊃ Bнеч , f (A∞ ) ⊃ B∞ . Таким образом, f (Aчет ) = Bнеч , f (A∞ ) = B∞ .
Аналогичным образом для отображения g : B → A 1 имеет место равен-
ство g(Bчет ) = Aнеч , т. е. g −1 (Aнеч ) = Bчет . Зададим теперь биектив-
ное отображение h : A → B по правилу
                       �
                         f (x), если x ∈ Aчет ∪ A∞ ;
                h(x) =
                         g −1 (x), если x ∈ Aнеч .
                                                                        �

   Теорема Кантора ҷ Б ернштейна позволяет значительно упрощать до-
казательства равномощности множеств. Например, для доказательства
равномощности круга и кольца достаточно выбрать в кольце какой-ни-
будь круг, а в круге є какое-нибудь кольцо и, учитывая, что любые
два круга и любые два кольца биективны, воспользоваться теоремой
Кантора ҷ Б ернштейна.
   У п р а ж н е н и е 5. Покажите, что любые интервал (a, b), полуин-
тервал [c, d) и отрезок [g, h] равномощны.
   Мы рассмотрели два класса бесконечных множеств: счетные множе-
ства и множества мощности континуума. Оказалось, что среди бесконеч-
ных множеств счетные являются «самыми маленькими». Следующая
теорема показывает, что множества мощности континуума не «самые
большие».
   Т е о р е м а 8 (Кантор). Мощность всякого множества A меньше
мощности множества 2A всех его подмножеств.
   До к а з а т е л ь с�т в о. Если �A = ∅, то утверждение справедливо.
Пусть A �= ∅ и C = {a} : a ∈ A є множество всех одноэлементных
подмножеств множества A. Отображение f : A → C, определенное ра-
венством f (a) = {a}, a ∈ A, очевидно, является биекцией множества
A на подмножество C множества 2A . Покажем теперь, что |A| �= |2A |.
Предположим противное. Пусть g : A → 2A є биективное отображение.



                                    34

Страницы