Элементы теории множеств. Близняков Н.М. - 36 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

Обозначим через Σ
0
множество всех последовательностей из множе-
ства Σ, которые имеют лишь конечное число нулей, т. е. все члены кото-
рых, начиная с некоторого номера, равны единице. Для всякого чис-
ла k ∈ N множество Σ
0
k
всех тех последовательностей из множества
Σ
0
, которые имеют ровно k нулей, счетно (покажите!). Поскольку Σ
0
=
=
∞
S
k=0
Σ
0
k
, то согласно теореме 4 множество Σ
0
счетно и в силу теоремы 5
множество Σ = (Σ \ Σ
0
) ∪ Σ
0
равномощно множеству Σ \ Σ
0
.
Теперь для доказательства теоремы достаточно показать, что мно-
жество Σ\Σ
0
континуально. Покажем, что оно равномощно полуинтерва-
лу [0, 1).
Каждое число из полуинтервала [0, 1) можно записать в виде беско-
нечной двоичной дроби 0, a
1
a
2
. . . a
n
· · · =
a
1
2
+
a
2
2
2
+ · · · +
a
n
2
n
+ . . . , где
каждое a
i
равно 0 или 1, причем не более чем двумя способами. Точнее,
числа вида
p
2
k
, где p, k ∈ N, p < 2
k
, и только они допускают два представ-
ления: одно є с бесконечным числом нулей, а другое є с конечным
числом нулей, т. е. с единицей в периоде. Таким образом, одно из двух
представлений чисел вида
p
2
k
имеет единицу в периоде. С другой сторо-
ны, всякое число из полуинтервала [0, 1), двоичная запись которого име-
ет единицу в периоде, имеет вид
p
2
k
: 0, a
1
a
2
. . . a
n
11 · · · =
a
1
2
+
a
2
2
2
+ · · · +
+
a
n
2
n
+
1
2
n+1
+
1
2
n+2
+ · · · =
a
1
2
n−1
+a
2
2
n−2
+···+a
n
+1
2
n
. Исключим из рассмотрения
двоичные представления чисел, имеющие единицу в периоде, тогда каж-
дое число из полуинтервала [0, 1) будет иметь единственное двоичное
представление.
Зададим теперь отображение g : (Σ \ Σ
0
) → [0, 1) по правилу:
g((a
1
, a
2
, . . . , a
n
, . . . )) = 0, a
1
, a
2
, . . . , a
n
, . . . .
Очевидно, что отображение g биективно, значит множества Σ\Σ
0
и [0, 1)
равномощны.
¥
36
    Обозначим через Σ� множество всех последовательностей из множе-
ства Σ, которые имеют лишь конечное число нулей, т. е. все члены кото-
рых, начиная с некоторого номера, равны единице. Д
                                                 ля всякого чис-
ла k ∈ N множество Σ�k всех тех последовательностей из множества
Σ� , которые имеют ровно k нулей, счетно (покажите!). Поскольку Σ � =
     �
     ∞
=      Σ�k , то согласно теореме 4 множество Σ� счетно и в силу теоремы 5
   k=0
множество Σ = (Σ \ Σ� ) ∪ Σ� равномощно множеству Σ \ Σ� .
    Теперь для доказательства теоремы достаточно показать, что мно-
жество Σ\Σ� континуально. Покажем, что оно равномощно полуинтерва-
лу [0, 1).
    Каждое число из полуинтервала [0, 1) можно записать в виде беско-
нечной двоичной дроби 0, a1 a2 . . . an · · · =                     a1
                                                                    2    +   a2
                                                                             22   + ··· +         an
                                                                                                  2n   + . . . , где
каждое ai равно 0 или 1, причем не более чем двумя способами. Точнее,
             p
числа вида   2k
                ,   где p, k ∈ N, p < 2k , и только они допускают два представ-
ления: одно є с бесконечным числом нулей, а другое є с конечным
числом нулей, т. е. с единицей в периоде. Таким образом, одно из двух
                                        p
представлений чисел вида                2k
                                             имеет единицу в периоде. С другой сторо-
ны, всякое число из полуинтервала [0, 1), двоичная запись которого име-
                                                   p
ет единицу в периоде, имеет вид                    2k
                                                         : 0, a1 a2 . . . an 11 · · · =      a1
                                                                                             2    +    a2
                                                                                                       22   + ···+
           1      1                 a1 2n−1 +a2 2n−2 +···+an +1
+ a2nn + 2n+1 + 2n+2 +··· =                      2n             .   Исключим из рассмотрения
двоичные представления чисел, имеющие единицу в периоде, тогда каж-
дое число из полуинтервала [0, 1) будет иметь единственное двоичное
представление.
    Зададим теперь отображение g : (Σ \ Σ� ) → [0, 1) по правилу:

                    g((a1 , a2 , . . . , an , . . . )) = 0, a1 , a2 , . . . , an , . . . .

Очевидно, что отображение g биективно, значит множества Σ\Σ � и [0, 1)
равномощны.

                                                                                                                 �



                                                        36

Страницы