Элементы теории множеств. Близняков Н.М. - 40 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

множеств.
Чтобы читатель мог составить себе представление о системах аксиом
теории множеств, приведем одну из форм системы ZF .
1. А к с и о м а о б ъ е м н о с т и. Два множества A и B равны, если (и
только если) они состоят из одних и тех же элементов.
2. А к с и о м а в ы д е л е н и я. Для любого множества A и предиката
P (x), имеющего смысл для всех элементов множества A (т. е. такого,
что для любого x ∈ A, P (x) либо истинно, либо ложно), существует
множество, состоящее в точности из тех элементов A, для которых P (x)
истинно.
3. А к с и о м а п а р ы. Если a и b є различные объекты, то существу-
ет множество {a, b}, состоящее в точности из a и b.
4. А к с и о м а о б ъ е д и н е н и я. Для любого множества множеств A
существует множество ∪A, состоящее в точности из всех элементов, при-
надлежащих элементам множества A.
5. А к с и о м а б е с к о н е ч н о с т и. Существует по крайней мере одно
бесконечное множество є множество {1, 2, 3, . . . } натуральных чисел.
6. А к с и о м а м н о ж е с т в а ҷ с т е п е н и. Для любого множества
A существует множество 2
A
всех подмножеств A.
7. А к с и о м а в ы б о р а. Для любого непустого множества S попарно
непересекающихся множеств существует некоторое множество C, содер-
жащее в качестве своих элементов ровно по одному элементу из каждого
элемента множества S.
8. А к с и о м а п о д с т а н о в к и. Для каждого множества A и одно-
значной функции f, определенной на A, существует множество, содер-
жащее в точности объекты f(x), для x ∈ A.
6. Континуум-гипотеза. Одна из проблем теории множеств, назы-
ваемая континуум-гипотезой, заслуживает отдельного внимания. Она
сыграла важную роль не только в развитии теории множеств, но и мате-
матики в целом.
Из утверждения упражнения 5 для конечных множеств следует, что
40
множеств.
   Чтобы читатель мог составить себе представление о системах аксиом
теории множеств, приведем одну из форм системы ZF .
   1. Ак с и о м а о б ъ е м н о с т и. Д
                                        ва множества A и B равны, если (и
только если) они состоят из одних и тех же элементов.
   2. Ак с и о м а в ы д е л е н и я. Д
                                      ля любого множества A и предиката
P (x), имеющего смысл для всех элементов множества A (т. е. такого,
что для любого x ∈ A, P (x) либо истинно, либо ложно), существует
множество, состоящее в точности из тех элементов A, для которых P (x)
истинно.
   3. Ак с и о м а п а р ы. Если a и b є различные объекты, то существу-
ет множество {a, b}, состоящее в точности из a и b.
   4. Ак с и о м а о б ъ е д и н е н и я. Д
                                          ля любого множества множеств A
существует множество ∪A, состоящее в точности из всех элементов, при-
надлежащих элементам множества A.
   5. Ак с и о м а б е с к о н е ч н о с т и. Существует по крайней мере одно
бесконечное множество є множество {1, 2, 3, . . . } натуральных чисел.
   6. А к с и о м а м н о ж е с т в а ҷ с т е п е н и. Д
                                                       ля любого множества
A существует множество 2A всех подмножеств A.
   7. Ак с и о м а в ы б о р а. Д
                                ля любого непустого множества S попарно
непересекающихся множеств существует некоторое множество C, содер-
жащее в качестве своих элементов ровно по одному элементу из каждого
элемента множества S.
   8. Ак с и о м а п о д с т а н о в к и. Д
                                          ля каждого множества A и одно-
значной функции f , определенной на A, существует множество, содер-
жащее в точности объекты f (x), для x ∈ A.
   6. Континуум-гипотеза. Одна из проблем теории множеств, назы-
ваемая континуум-гипотезой, заслуживает отдельного внимания. Она
сыграла важную роль не только в развитии теории множеств, но и мате-
матики в целом.
   Из утверждения упражнения 5 для конечных множеств следует, что


                                     40

Страницы