Математические методы принятия решений. Бодров В.И - 35 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

4 Из состояния
1
0
u производится поиск минимума, в результате которого определяется еще одна
критическая точка u
2
, расположенная на дне "оврага" (рис. 3.13).
u
1
u
2
1
1
u
1
2
u
1
3
u
u
3
u
0
1
0
u
Форма "дна оврага"
Рис. 3.13 Метод "оврагов"
5 Две найденные критические точки u
1
и u
2
соединяются прямой и выполняется "шаг по оврагу" в
направлении убывания целевой функции. Это дает новое исходное состояние
1
1
u .
6 Из состояния
1
1
u производится спуск на "дно оврага" и находится критическая точка u
3
. Далее
определяется состояние
1
2
u и т.д. (рис. 3.13).
Процесс поиска продолжается до тех пор, пока значение целевой функции во вновь найденной кри-
тической точке u
k+1
Q (u
k+1
) не окажется больше, чем в предыдущей точке u
k
– Q (u
k
). Минимум в этом
случае находится между точками u
k–1
и u
k+1
. Далее процесс поиска можно повторить, но уже с меньши-
ми "шагами по оврагу", пока не будет достигнута требуемая точность.
В результате поиска могут возникнуть различные ситуации. Например, когда все переменные при-
мерно одинаково влияют на значение оптимизируемой функции, но, тем не менее, "овраг" существует. В
этом случае для поиска состояния
1
0
u можно сделать любой шаг из начального состояния u
0
, далее поиск
продолжается по описанному выше алгоритму.
3.5 ПОИСК УСЛОВНОГО ЭКСТРЕМУМА
При рассмотрении реальных задач оптимизации на переменные состояния накладываются условия
типа равенств или неравенств, которые задают область изменения независимых переменных.
Задача нелинейного программирования в этом случае формулируется следующим образом: требу-
ется найти оптимум (минимум) функции
(
)
n
uuQ ...,,
1
при u ∈ U и условия, что
()
0...,,
1
≥
ϕ
ι n
uu , k,1=ι .
Число условий типа неравенств может быть любым, т.е. меньше или больше числа независимых пе-
ременных. Если при решении такой задачи экстремум целевой функции будет находится внутри допус-
тимой области изменения независимых переменных
nu ,1, =ι
ι
, ограниченной неравенствами
()
0...,,
1
>
ϕ
ι n
uu , то в некоторых случаях эту задачу можно решить рассмотренными выше методами по-
иска без учета ограничений. Вести поиск подобным образом при наличии условий типа равенств обыч-
но невозможно. Если же экстремум целевой функции будет расположен на границе допустимой облас-
ти, то для его отыскания применяют специальные методы.
3.5.1 Метод проектирования вектора-градиента
При решении задач поиска максимума функции Q (u
1
, ..., u
n
) с ограничениями типа неравенств вида
()
0...,,
1
>
ϕ
ι n
uu ,
k,1=ι
часто используется метод проектирования вектора-градиента.
Согласно этому методу движение к оптимуму происходит вдоль границы допустимой области. Сте-
пень нарушения ограничений определяется функцией
()
,)(
1
∑
=ι
∗
ι
ϕ=
k
uuH где
()
(
)
≤ϕ
>ϕϕ
=ϕ
ι
ιι
∗
ι
0при,0
0при, uu
, т.е.
внутри допустимой области U функция H (u) тождественно равна нулю. При таком подходе к решению
задачи положение точки при выполнении очередного шага должны оставаться за пределами области U,

Страницы