Математические методы принятия решений. Бодров В.И - 78 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Оптимальные стратегии ξ
*
= (0,5; 0,5), η
*
= (0, 3/7, 0, 0,4/7).
Аналогично ищется решение игры n × 2. В этом случае строится график изменения значений целе-
вой функции
Q
при чистых стратегиях первого игрока в зависимости от смешанной стратегии η
2
и оп-
ределяется минимаксная оптимальная стратегия второго игрока η
2
*
.
6.3.3.3 Игра n × m
При решении матричной игры размерностью n × m могут быть применены два приема:
1) сведение задачи к задаче 2 × m или n × 2;
2) сведение задачи к задаче линейного программирования.
Для упрощения задачи с матрицей n × m используются определенные правила.
Говорят, что стратегия i
1
первого игрока доминирует стратегию i
2
, если для всех j = 1, 2, …, m имеет
место
.
21
jiji
qq ≥
В этом случае стратегия i
2
заведомо хуже стратегии i
1
. Стратегия i
2
называется доминируемой и
может быть исключена из рассмотрения.
Говорят, что
стратегия j
*
доминирует стратегию j вто-
рого игрока, если для
любого i справедливо
.
*
ji
ij
qq ≤
Здесь стратегия
j
заведомо хуже стратегии j
*
, она
называется доминируемой и может быть удалена из рассмотрения.
На рис. 6.10 показано две стратегии первого игрока, вторая
стратегия доминирует первую и поэтому может быть исключена
из рассмотрения.
При решении игровых задач используются следующие
важные теоремы.
Т е о р е м а 1
Ни одна из строго доминирующих чистых стратегий не содержится в спектре оптимальных реше-
ний.
Т е о р е м а 2
Если некоторая чистая стратегия а, доминируется смешанной стратегией в, в спектре которой нет а,
то удаление а приводит к тождественной игре.
В качестве примера рассмотрим игру, представленную на рис. 6.11. Здесь ни одна из стратегий 1
или 2 не доминирует стратегию 3 .
Рассмотрим смешанную стратегию η = (0,5; 0,5; 0). Для этой стратегии имеем
,5,05,0
21
QQQ += где
1
Q – значение целевой функции для первой стратегии, а
2
Q – для второй стратегии.
Значения целевой функции
Q
на рис. 6.11 показаны пунктирной линией и эта стратегия доминиру-
ет стратегию 3 . Согласно теореме 2 стратегия 3 может быть удалена.
Т е о р е м а 3
Решения игр будут тождественными, если каждый элемент платежной матрицы преобразуется сле-
дующим образом
,bkqq
ijij
+=
где k > 0, b > 0 – любые числа.
ξ
2
Q
1
2
Рис. 6.10 Иллюстрация
доминируемой стратегии

Страницы