Методы исследования операций при принятии решений. Бодров В.И - 66 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

а) плотность вероятности интервалов между последовательными поступлениями требований рас-
пределена по одному и тому же экспоненциальному закону (4.3);
б) поток ординарен, т.е. в малом интервале ∆t поступление двух и более требований невозможно
или почти невозможно;
Докажем, что поток требований, интервалы между которыми распределены с плотностью вероятно-
сти (4.3), удовлетворяет свойствам стационарности и отсутствия последствия.
Для этого обозначим вероятность отсутствия требований на интервале [0, t]
{}
∫
∞
λ−λτ−
=τλ=>τ=
0
0
,Вер)(
t
edettP (4.4)
а на интервале [t, t + ∆t]
{}
∫
∆+
∆λ−λτ−
∆+∆λ−==τλ=∆+≤τ≤=
tt
t
t
ttedettttP ).(01Вер)(
20
(4.5)
При малом ∆t эта вероятность (4.5) может быть представлена в виде
.1)()/(
00
ttPttP ∆λ−≈∆=∆ (4.6)
Из формулы (4.6) видно, что вероятность )/(
0
ttP ∆ зависит лишь от величины интервала времени ∆t,
поэтому ее будем обозначать Р
0
(∆t).
Вероятность того, что в интервале ∆t появится хотя бы одно требование, также не зависит от мо-
мента времени t и предыстории процесса и определяется как
,)(1)(
0
ttPtP ∆λ=∆−=∆ (4.7)
что и доказывает стационарность процесса и отсутствие последствия.
Так как вероятность поступления в малый интервал времени двух и более требований ничтожно
мала, то (4.7) показывает вероятность )(
1
tP ∆ поступления одного требования в интервале ∆t.
Таким образом,
,)(
1
ttP
∆
λ
=
∆
(4.8)
которая с ростом ∆t пропорционально растет, что свидетельствует о появлении на данном интервале но-
вого требования.
Согласно (4.3) средний интервал времени между появлением требований будет λ= /1t , дисперсия
./1
2
λ=
t
D
Если Р
n
(t) – вероятность поступления n требований в системе на интервале [0, t] и если интервалы
распределены по экспоненциальному закону (4.3), то вероятность Р
n
(t), n = 0, 1, 2, …, удовлетворяет за-
кону Пуассона
!
)(
)(
n
et
tP
tn
n
λ−
λ
=
. (4.9)
Процесс в этом случае называется пуассоновским.
Итак, если интервалы распределены по экспоненциальному закону, то процесс пуассоновский, т.е.
Р
n
(t) удовлетворяет (4.9), и наоборот, если процесс пуассоновский, то интервалы между последователь-
ными поступлениями требований распределены по экспоненциальному закону. Такие процессы назы-
ваются M-процессами (марковскими).
P
4
P
λ = 5

Страницы