Дифференциальные уравнения. Ряды. Богатова С.В. - 8 стр.

UptoLike

Составители: 

1. Дифференциальные уравнения
1.1. Задачи, приводящие к понятию
дифференциального уравнения
Пусть некоторое явление количественно описывается функцией
(
)
xfy = . Часто мы не можем непосредственно установить характер
зависимости между величинами x и y, а известны лишь производные y
,
y
,,
(
)
n
y .
Пример 1.1. Имеется
0
q грамм радия. Скорость распада радия прямо
пропорциональна его количеству. Найти количество радия, оставшегося в
момент времени t.
Решение. Обозначим через
(
)
tq количество радия в момент времени t,
0t
. Тогда скорость распада равна
(
)
dt
tdq
. По условию
(
)
()
tkq
dt
tdq
= ,
где k коэффициент пропорциональности. Получили уравнение
(
)
()
0tkq
dt
tdq
=+ , (1.1)
которое связывает неизвестную функцию
(
)
tq и ее производную. Задача
состоит в нахождении функции
(
)
tq , являющейся решением уравнения (1.1)
и удовлетворяющей условию
(
)
0
q0q = .
Пример 1.2. На упругой пружине
подвешен груз массой m. Груз выведен из
состояния равновесия в вертикальном
направлении. Описать закон движения груза.
Решение. Введем систему координат
Oxyz, связанную с грузом (рис. 1.1).
Обозначим через
(
)
tx положение груза в
момент времени t, координаты y и z не
меняются. Известно, что равнодействующая
всех сил, действующих на материальную точку, равна силе инерции, т.е.
инвнсопрупр
FFFFP
r
r
r
r
r
=+++ ,