Учебное пособие по высшей математике. Богинич А.В - 20 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УГМУ | Екатеринбург

Составители: 

Рубрика: 

20
y
n
yxyxn
y
u
)()(3
212
′
++=
∂
∂
−
, т.к. х=соnst
1212
)(3)10()(3
−−
+=++=
∂
∂
nn
yxnyxn
y
u
.
Если функция зависит от нескольких (например, трех) переменных
),,(
zy
x
f
u = , то ее полный дифференциал
dzudyudxudu
zyx
′
+
′
+
′
=
(1)
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2: Полный дифференциал функции n переменных равен
сумме n произведений частных производных по каждому из аргументов на
дифференциал соответствующего аргумента
.
ПРИМЕР 2: Найти полный дифференциал функции u = sin(ax−by).
РЕШЕНИЕ: Найдем частные производные.
xx
byaxbyaxu ))(cos(
′
−
−
=
′
xx
axbyaxu ))(cos(
′
−=
′
, т.к. y=const при дифференцировании по х, то и
bу=const, следовательно
)cos( byaxаu
x
−
=
′
Частная производная по переменной у берется в предположении, что
х=const. Произведение двух постоянных величин (ах) также величина
постоянная.
уу
byaxbyaxu ))(cos(
′
−−=
′
=
у
bybyaxсos ))((
′
)cos( byaxb −
.
По определению 2: du=
)cos( byaxа
dx
)cos( byaxb
dy.
ПРИМЕР 3: Найти полный дифференциал функции
322
2zyxu −+=
.
РЕШЕНИЕ: Освободимся от корня:
21322
)2( zyxu −+=
Частные производные:
xx
zyxzyxu )2()2(
2
1
322
2
1
322
′
−+−+=
′
−
xzyxu
x
2)2(
2
1
2
1
322
−
−+=
′
yy
zyxzyxu )2()2(
2
1
322
2
1
322
′
−+−+=
′
−
yzyxu
y
2)2(
2
1
2
1
322
−
−+=
′
zz
zyxzyxu )2()2(
2
1
322
2
1
322
′
−+−+=
′
−
)6()2(
2
1
2
2
1
322
′
−−+=
′
−
zzyxu
z
.

Страницы