Учебное пособие по высшей математике. Богинич А.В - 48 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УГМУ | Екатеринбург

Составители: 

Рубрика: 

48
Общее решение содержит столько произвольных постоянных, каков
порядок уравнения.
Так, решением дифференциального уравнения второго порядка
0
=
+
′
′
yy
, (3)
является функция
у=С
1
sinx + C
2
cosx. (4)
При подстановке функции (4) в уравнение
0
=
+
′
′
yy
оно превращается в
тождество.
Проверим правильность решения. Для этого возьмем вторую производную
от у=С
1
sinx+C
2
cosx :
xCxCy sincos
21
−
=
′
, (5)
coxCxCy
21
sin
−
−
=
′′
. (6)
Подставив
y
′′
и у в уравнение
0
=
+
′
′
yy
, получим тождество
coxCxC
21
sin
−
−
+ С
1
sinx + C
2
cosx =0.
Частным решением дифференциального уравнения (1) называется такое
решение, которое получается из общего решения, если в последнем
произвольным постоянным придать определенные значения, которые
определяются из начальных условий.
ПРИМЕР 1. Общее решение дифференциального уравнения
0
=
+
′′
yy
есть у=С
1
sinx+C
2
cosx. Найти частное решение, если при х=0 у=2 , а
1
−
=
′
x
y
.
РЕШЕНИЕ: Подставив в общее решение (4) начальные условия (х=0 у=2),
получим: 2 = С
1
sin0 + C
2
cos0, откуда С
2
=2
Подставим начальные условия (х = 0,
1
−
=
′
x
y
) в уравнение (5)
- 1 = С
1
cos0 — C
2
sin0, откуда С
1
= - 1
Искомое частное решение будет иметь вид:
y = 2cosx - sinx
Кривая
)(xfy = , являющаяся решением уравнения называется
интегральной кривой дифференциального уравнения.

Страницы