ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
50
Общее решение:
Cdyydxxf =+
∫
∫
)()(
ϕ
2. Дифференциальные уравнения типа
0)()()()(
2121
=
⋅
+
⋅ dyyxdxyfxf
ϕ
ϕ
(9)
называется
уравнением с разделяющимися переменными.
Разделение переменных производится делением обоих частей (9) на
произведение
)()(
21
yfx
⋅
ϕ
,. После деления на это произведение уравнение (9)
примет вид
0
)(
)(
)(
)(
2
2
1
1
=+ dy
yf
y
dx
x
xf
ϕ
ϕ
, (10)
а его
общее решение запишется так:
Cdy
yf
y
dx
x
xf
=+
∫∫
)(
)(
)(
)(
2
2
1
1
ϕ
ϕ
. (11)
4. Примеры решения задач
ПРИМЕР
1. Решить дифференциальное уравнение первого порядка:
xyy 2=
′
.
РЕШЕНИЕ: Разделим переменные:
xdx
y
dy
2=
Проинтегрируем это выражение:
∫∫
= xdx
y
dy
2
получаем
Cxy +=
2
ln
.
Так как в уравнение входит
yln
, то постоянную интегрирования удобнее
выразить в виде логарифма т.е.
Cxy lnln
2
+=
или
2
ln x
C
y
=
Потенцируя это равенство, получаем
2
x
eCy ⋅=
. Это выражение является
общим решением уравнения (12).
ПРИМЕР 2. Найти общее решение уравнения хdx + ydy = 0
РЕШЕНИЕ: Уравнение решаем путем непосредственного интегрирования:
1
∫∫
=+ Cydyxdx
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 48
- 49
- 50
- 51
- 52
- …
- следующая ›
- последняя »
