ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
2
Данное уравнение называется уравнением вынужденных электрических
колебаний.
Из курса механики известно, что вынужденные механические
колебания линейного гармонического осциллятора описываются
дифференциальным уравнением следующего вида:
tFkx
dt
dx
dt
xd
m ω=+η+ cos
0
2
2
. (2)
Как видно из (1) и (2), уравнения механических и электрических
вынужденных колебаний подобны, что позволяет выявить аналогию между
механическими и электрическими величинами. Решение уравнения
вынужденных механических колебаний хорошо известно, поэтому оно
полностью может быть перенесено на случай электрических колебаний.
В отсутствие внешней ЭДС в электрическом LC-контуре
(сопротивление R равно нулю)
возникают собственные незатухающие
колебания, частота которых
ω
0
определяется параметрами контура:
LC
1
0
=ω
(3)
Если в электрическом колебательном контуре действует переменная
ЭДС, то в контуре устанавливаются вынужденные колебания с частотой этой
вынуждающей силы ω:
(
)
ϕ
+
ω
= tqtq cos)(
011
, (4)
а свободные колебания затухают:
(
)
03022
cos)( ϕ+ω=
δ−
teqtq
t
, (5)
где
δ
=R/2L-коэффициент затухания,
22
03
δ−ω=ω -частота затухающих колебаний,
В случае вынужденных колебаний (4) ϕ - это разность фаз между
фазой колебаний заряда на пластинах конденсатора и фазой колебаний
внешней ЭДС. Амплитуда и фаза установившихся вынужденных колебаний
заряда зависят от характеристик электрического контура и вынуждающей
силы
()
22
2
2
0
2
0
01
4
1
δω+ω−ω
=
ε
L
q
,
2
0
2
2
ω−ω
δω
=ϕtg
(6)
При приближении частоты внешней силы ω к собственной частоте ω
0
амплитуда колебаний возрастает, и наблюдается явление резонанса. Можно
показать, что резонанс напряжения на конденсаторе наступает при частоте
22
01
2 δ−ω=ω . В случае малого затухания (δ<<ω
0
) при резонансе амплитуда
напряжения на конденсаторе достигает значения
Данное уравнение называется уравнением вынужденных электрических
колебаний.
Из курса механики известно, что вынужденные механические
колебания линейного гармонического осциллятора описываются
дифференциальным уравнением следующего вида:
d 2x dx
m 2 + η + kx = F0 cos ω t . (2)
dt dt
Как видно из (1) и (2), уравнения механических и электрических
вынужденных колебаний подобны, что позволяет выявить аналогию между
механическими и электрическими величинами. Решение уравнения
вынужденных механических колебаний хорошо известно, поэтому оно
полностью может быть перенесено на случай электрических колебаний.
В отсутствие внешней ЭДС в электрическом LC-контуре
(сопротивление R равно нулю) возникают собственные незатухающие
колебания, частота которых ω0 определяется параметрами контура:
1
ω0 = (3)
LC
Если в электрическом колебательном контуре действует переменная
ЭДС, то в контуре устанавливаются вынужденные колебания с частотой этой
вынуждающей силы ω:
q1 (t ) = q 01 cos(ω t + ϕ) , (4)
а свободные колебания затухают:
q 2 (t ) = q 02 e − δ t cos(ω 3 t + ϕ 0 ) , (5)
где δ=R/2L-коэффициент затухания,
ω3 = ω02 − δ 2 -частота затухающих колебаний,
В случае вынужденных колебаний (4) ϕ - это разность фаз между
фазой колебаний заряда на пластинах конденсатора и фазой колебаний
внешней ЭДС. Амплитуда и фаза установившихся вынужденных колебаний
заряда зависят от характеристик электрического контура и вынуждающей
силы
ε
q 01 = 0
1
, tgϕ = 2
2 ωδ
(6)
L
(2
)
2 2 2 2
ω − ω 0 + 4ω δ
ω − ω02
При приближении частоты внешней силы ω к собственной частоте ω0
амплитуда колебаний возрастает, и наблюдается явление резонанса. Можно
показать, что резонанс напряжения на конденсаторе наступает при частоте
ω1 = ω 02 − 2 δ 2 . В случае малого затухания (δ<<ω0) при резонансе амплитуда
напряжения на конденсаторе достигает значения
2
