История и методология науки. Большаков Б.Е. - 62 стр.

возможно скорее разделаться с введением чисел и дальше уже говорить только о числах и
соотношениях между ними. Против этой тенденции и протестует Лебег.
        Что общепринятая система с педагогической стороны дефектна, видно хотя бы из
тех трудностей, которые затем возникают при усвоении учащимися независимости
смысла геометрических и физических формул от выбора единиц измерения и понятия
«размерности» геометрических и физических формул».
        Продолжим знакомство с этим предисловием, которое было написано ещё в 1939
году:
        «Дело, однако не в отдельных дефектах: а в том, что отрыв в школьном
преподавании математических понятий от их происхождения приводит к полной
беспринципности и логической дефектности курса. Лебег прав, когда утверждает, что,
например, старые учебники, считавшие понятие площади чем-то ясным и само собою
разумеющимся, стояли выше, чем некоторые современные, которые предлагают
«условиться»    назвать   площадью   круга   такой-то   предел.   Создание   на   почве
выкристаллизовавшихся из практики понятий формальных определений на своём месте
имеет смысл, но только тогда, когда это будут определения общих понятий. Имеет смысл
дать формальное определение площади вообще, вывести из этого определения общие
свойства площадей и доказать, что в применении к кругу общее определение приводит к
такому-то результату. Но бессмысленно «уславливаться», что понимать под площадью
отдельных фигур, так как причина именно этих «соглашений» остается не раскрытой.
        Поднимаясь к современным исследованиям о понятиях длины кривой, площади
поверхности и интеграла, Лебег показывает, как уже в чисто научной области забвение
реального происхождения понятий может сбить с пути исследователя. На примере своих
собственных открытий Лебег старается показать, как тесно связаны с анализом реальных
процессов измерения. Таким образом в центре внимания на протяжении всей книги
Лебега стоит борьба за возвращение математическим понятиям их первоначального
материального содержания. В этой борьбе я вижу основной интерес книги Лебега».
        Приведем из этого же предисловия ещё два отрывка, которые не утратили своего
значения и в наши дни.
        «Особенно остро стоит вопрос о понятии площади поверхности. В элементарной
геометрии, кроме площадей цилиндра и конуса, для которых общая проблема может быть
обойдена развёртыванием на плоскость, «вычисляется» площадь поверхности шара.
Вычисление это, однако, не имеет определенного смысла пока само понятие площади
поверхности не определено. Далеко не всем известно, что дело вовсе не в
затруднительности привести такое определение в школьном учебнике, а в том, что

                                                                                     62