Технология проектирования устойчивого развития социально-экономических систем. Большаков Б.Е. - 135 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУПОЧ «Дубна» | Дубна

Составители: 

Рубрика: 

135
Обращенный степенной ряд
I. Для демонстрации операций с 3-матрицами рассмотрим три члена приведенного
выше ряда, заменяя у на е и х на i:
e
α
= B
αβ
i
β
+ C
αβγ
i
β
i
γ
+ … (88)
Предположим, что компоненты B
αβ
и C
αβγ
известны, так же как компоненты e
α
(которые представляют, например, приложенные напряжения в нелинейной системе).
Задача состоит в разрешении этого уравнения относительно неизвестного i
α
, т. е. нужно
выразить i
α
как функцию от B
αβ
и C
αβγ
и e
α
.
Неизвестную i
β
можно выразить через e
α
с помощью степенного ряда (называемого
«обращенным» рядом):
i
β
= K
βε
e
ε
+ M
βεσ
e
ε
e
σ
+ … (89)
где коэффициенты K
βε
и M
βεσ
являются неизвестными функциями введенных ранее
известных коэффициентов B
αβ
и C
αβγ
. Задача состоит в том, чтобы выразить К и М в виде
явной функции от В и С.
II. Следуя постулату первого обобщения, решим сначала эту задачу для обычной
скалярной величины. Другими словами, решим сначала следующую задачу: дано
разложение в степенной ряд
e = B·i + C·i
2
+ …, (90)
надо найти неизвестную i, т.е. в обращенном ряде
i = Ke + Me
2
+ … (91)
выразить неизвестные К и М как явную функцию от известных В и С. Порядок действий
состоит из следующих этапов:
1) Подставить второе уравнение в первое:
e = B(Ke + Me
2
) + C(Ke + Me
2
)
2
+ …. (92)
Поскольку мы будем пренебрегать всеми членами, в которых степень больше двух,
то уравнение приводится к виду
e = BKe + BMe
2
+ CK
2
e
2
+ …, (93)
e = BKe + (BM + CK
2
)e
2
+ …. (94)
                                Обращенный степенной ряд

       I. Для демонстрации операций с 3-матрицами рассмотрим три члена приведенного
выше ряда, заменяя у на е и х на i:

                            eα = Bαβiβ + Cαβγiβiγ + …                         (88)

       Предположим, что компоненты Bαβ и Cαβγ известны, так же как компоненты eα
(которые представляют, например, приложенные напряжения в нелинейной системе).
Задача состоит в разрешении этого уравнения относительно неизвестного iα, т. е. нужно
выразить iα как функцию от Bαβ и Cαβγ и eα.

       Неизвестную iβ можно выразить через eα с помощью степенного ряда (называемого
«обращенным» рядом):

                            iβ = Kβεeε + Mβεσeεeσ + …                         (89)

где коэффициенты Kβε и Mβεσ являются неизвестными функциями введенных ранее
известных коэффициентов Bαβ и Cαβγ. Задача состоит в том, чтобы выразить К и М в виде
явной функции от В и С.

       II. Следуя постулату первого обобщения, решим сначала эту задачу для обычной
скалярной величины. Другими словами, решим сначала следующую задачу: дано
разложение в степенной ряд

                                      e = B·i + C·i2 + …,                     (90)

надо найти неизвестную i, т.е. в обращенном ряде

                                      i = Ke + Me2 + …                        (91)

выразить неизвестные К и М как явную функцию от известных В и С. Порядок действий
состоит из следующих этапов:

       1) Подставить второе уравнение в первое:

                         e = B(Ke + Me2) + C(Ke + Me2)2 + ….                  (92)

       Поскольку мы будем пренебрегать всеми членами, в которых степень больше двух,
то уравнение приводится к виду

                            e = BKe + BMe2 + CK2e2 + …,                       (93)

                            e = BKe + (BM + CK2)e2 + ….                       (94)

                                                                                     135

Страницы