Аналого-дискретные и цифровые цепи и системы. Бондаренко А.В - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГАСУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

24 25
Аналого-дискретные и цифровые цепи и системы
Глава 2. ОСНОВНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
В Z- И L-ОБЛАСТЯХ
2.1. Операции свертки двух дискретных функций
Положим для простоты Т
=
1 и обратимся к двум Z-преобразова-
ниям X
1
(z) и X
2
(z) в виде рядов:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
......210
...;...210
2
2
2
1
222
1
2
1
1
111
+++++=
+++++=
−−−
−−−
n
n
znxzxzxxzX
znxzxzxxzX
После почленного перемножения рядов получим:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
[ ]
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
[ ]
( ) ( )
......021120
011000
21
2
212121
1
21212121
+
−+++++
+++=
−−
−
∑
n
n
zknxkxzxxxxxx
zxxxxxxzXzX
Отсюда следует, что
( ) ( ) ( ) ( )
knxkxzXzX
n
−÷
∑
2121
, (2.1)
или после несложной замены переменных в сумме (2.1) найдем, что
( ) ( ) ( ) ( )
∑
∞
=
−÷
0
2121
k
knxkxzXzX
. (2.2)
Верно и обратное – из правой части, например (2.1), легко получить
левую:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
,
2121
0 00 0
21
0
21
00
21
0
21
txtxzXzX
zknxzkxzzknxkx
zknxkxknxkxZ
n nk
kn
k
kknk
k
n
n
kk
∗÷=
=−=−
=−=
−
∑ ∑∑ ∑∑
∑∑∑
∞
=
∞
=
∞
=
−−
∞
=
−−−−
∞
=
∞
=
−
∞
=
∞
=
где звездой обозначена операция свертки.
Рассмотрим некоторые примеры для пояснения (2.1) и (2.2).
Пример 2.1
Поскольку отклик на воздействие
( )
t
0
δ
при нулевых начальных
условиях есть импульсная характеристика цепи h
0
(t), то
( )
knkn
hL
−−
=δ
0
(2.3)
и из (1.8) получим
( )
nnkn
k
kn
k
kn
hxhkxhxy
0)(0
0
)(0
0
∗===
−
∞
=
−
∞
=
∑∑
,
что является частным случаем свертки.
Пример 2.2
Найти свертку следующих функций:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
≥
<≤
=−δ−δ=
δ=
,5 ,0
,50 ,1
5
;3/1
112
11
n
n
nnnx
nnx
n
причем вычисления произвести для двух величин n: n = 3 и n = 6.
Для первой величины n = 3 найдем
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
.27/4027/19/13/11
03122130
213121212
3
0
1
=+++=
=+++=−
∑
=
xxxxxxxxknxkx
k
Для второго случая (n = 6) получим
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
.727/121061524
3342
212121
21212
6
0
1
=+++
++=−
∑
=
xxxxxx
xxxxknxkx
k
Иллюстрации приведены на рис. 2.1.
Пример 2.3
Определить свертку двух функций:
( ) ( ) ( ) ( )
4
1121
−δ−δ==
nnnxnx
.
В данном случае ясно, что при 0
≤ n ≥ 3
111
0
+=⋅
∑
=
n
n
k
,
а при 3 < n
≤ 6
Глава 2. Основные преобразования в z- и l-областях

Страницы