Аналого-дискретные и цифровые цепи и системы. Бондаренко А.В - 5 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГАСУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

89
Аналого-дискретные и цифровые цепи и системы
На основании (1.3) получим
( ) ( )
∑
∞
=
∗
τ−τ=δ
0
00
1
,
k
kTtdt
, (1.4)
а выражение (1.2) примет следующий вид:
( ) ( ) ( ) ( )
∑
∞
=
∗
τ
∗
τ−τ=δ=
0
00
1
,
k
kTtdttxtx
. (1.5)
Естественно предположить, что
для воспроизведения «почти всех» не-
обходимых частот в спектре некоторо-
го сигнала x(t) интервалы Т и
0
τ
выби-
раются с таким расчетом, чтобы они
были значительно меньшими, чем ми-
нимальная постоянная времени анали-
зируемой цепи. В предельном случае
дело сводится к аналоговой системе.
Дальнейшая идеализация (1.5)
приводит к следующей математичес-
кой модели процесса дискретизации:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
,
,lim/lim
0
0
0
0
0
0
0
00
∑
∑
∞
=
∞
=
→τ
τ
∗
→τ
∗
−δ=
=τ−=
τ=
k
k
kTttx
kTtdtxtxtx
(1.6)
где
( )
t
0
δ
– импульс Дирака, обладающий следующими свойствами:
( )
=∞
≠
=−δ
.,
;,0
0
kTt
kTt
kTt
Видно, что из (1.4) несложно получить
( ) ( ) ( )
,,
0
0
0
00
1
kTtkTtdt
kk
−δ→τ−τ=δ
∑∑
∞
=
∞
=
∗
(1.7)
где стрелка указывает на использованный предельный переход при
0
0
→τ
. На основании (1.6) дискретизированный сигнал
tx
∗
, показан-
ный на рис. 1.4, где площади импульсов Ди-
рака соответствуют дискретам входного сиг-
нала
k
xkTx
=
)(
(вторая запись используется
для краткости). Заметим также, что для даль-
нейших упрощений возможная дискретизация
сигнала по величине на первом этапе учиты-
ваться не будет.
С учетом свойств
( )
t
0
δ
функцию (1.6)
можно представить в виде
( ) ( ) ( )
kTtkTxtx
k
−δ=
∑
∞
=
∗
0
0
. (1.8)
Следует сделать еще одну оговорку: в случае кусочно-дискрет-
ных функций при
( ) ( )
00
−≠+
kTxkTx
в (1.8) будет учитываться пра-
вая величина,
( )
0
+
kTx
.
Пример 1.1. Покажем дискретные сигналы для единичной сту-
пенчатой функции (рис. 1.5, а):
( )
<
≥
=δ
;0,0
;0,1
1
k
k
kT
импульса Дирака (рис. 1.5, б):
( )
≠
=
=δ
0,0
;0,1
0
k
k
kT
и произвольной функции (рис. 1.5, в):
( ) ( ) ( )
[ ]
( )
[ ]
( )
[ ]
TkTkTkkTf 521203
0000
−δ+−δ−−δ+δ−=
.
Дискретная система (цепь) определяет правило (алгоритм), по
которому входной последовательности
k
x
соответствует определенная
выходная последовательность
k
y
согласно формуле
{ }
.
kk
xLy =
(1.9)
Соотношению (1.9) отвечает рис. 1.6. Полезно заметить, что важ-
ными частными случаями системы (рис. 1.6) являются элемент задерж-
ки
1−
=
kk
xy
и умножитель (масштабный элемент)
kk
xy
α=
,
()
0
, τtd
0
1
τ
0
t
0
τ
Рис. 1.3
T 2T 3T t
0
()
tx
∗
Рис. 1.4
Глава 1. Дискретные сигналы и их представление

Страницы