Электротехника. Бондаренко А.В. - 25 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГАСУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

48
49
или
1
у
nnn
bc
, (1.21)
ãä å n
b
– число ребер (ветвей) графа.
Несложно установить, что n
д
дает число независимых узловых пар
напряжения. Эти напряжения можно считать независимыми переменны-
ми. Действительно, если известны напряжения ветвей дерева, то несложно
определить напряжения всех узлов и узловых пар цепи. При этом отсут-
ствие замкнутых контуров из ветвей дерева приведет к следующему:
1) взаимной независимости напряжений ветвей дерева;
2) eдинственности пути к выбранному узлу
, т. е. единственности
напряжений любых узловых пар. Отсюда ясно, что число независимых
узловых пар (НУ)
b
nnn
дНУ
. (1.22)
Если же выбрать напряжения узлов по отношению к одному обще-
му (базовому) узлу, то они также окажутся независимыми из-за отличия
друг от друга по крайней мере на величину напряжения хотя бы одной
ветви дерева.
Число независимых контуров может быть установлено после по-
очередного подключения к дереву главных ветвей графа (хорд).
При этом
каждая ветвь связи замыкает контур, ток в котором можно принять
за независимую переменную (рис. 1.56).
Ток ветви дерева i
dpa
можно выразить через токи хорд.
,
dacddpa
iii
,
bccdbmc
iii
.
cdbccdbcbmcbcab
iiiiiii
Рис. 1.56
Таким образом, число независимых контуров (НК) составит с уче-
том (1.21):
kbc
nnnnn
1
уНК
. (1.23)
Токи всех ветвей дерева однозначно определяются через контур-
ные токи или токи хорд.
Вывод. Состояние цепи в любой момент времени можно однознач-
но охарактеризовать либо через n
HУ
(1.22), либо через n
HK
(1.23).
Иногда в топологии (разделе математики, связанном с изучением
геометрических свойств структур) вводятся понятия ранга графа:
,
0у
Rn U
где R
0
– число отдельных частей связного графа (точнее, мультиграфа) и
цикломатического числа (число Бетти, дефицит – В, где
,
0у
RnnnB
bb
U
причем
у
nn
b
называют характеристическим числом).
Линейный граф, не содержащий контуров, называется лесом. Дру-
гими словами, дерево – есть связанный лес. При этом R
0
= 1, = n
y
–1,
B = 0 – дефицит леса равен нулю.
1.7. Дифференциальные уравнения равновесия
и общие свойства их решений
Приступая к анализу цепи, задаемся условно положительными на-
правлениями токов и падений напряжений, выбираем дерево, независи-
мые контуры и узловые пары и составляем систему уравнений по зако-
нам Кирхгофа.
Пример 14. Последовательный R-, L-, C-контур представлен
на рис
. 1.57, а, а граф контура – на рис. 1.57, б. Дерево на рис. 1.57, б
вырождается в один узел.
Рис. 1.57

Страницы