Составители:
Рубрика:
52
53
Пример 16. Сложная цепь (рис. 1.59, a). Дано: R
1
, R
2
, L, C и u(t).
Определить токи ветвей данной цепи.
Граф цепи показан на рис. 1.59, б; дерево – на рис. 1.59, в.
Рис. 1.59
Из графа следует: цепь содержит два независимых контура и одну
узловую пару. Составим уравнения по законам Кирхгофа:
1)
;
21
tititi
2)
;
1
1
tu
d
t
tLdi
tiR
;
11
tutiRtLpi
3)
³
;0
1
1
222
dt
tdi
Ldtti
C
tiR
.0
1
1222
tLpiti
Cp
tiR
Сведем полученную систему уравнений к дифференциальному урав-
нению старшего порядка. Продифференцируем уравнение 3).
;0
22
2
2
1
2
C
ti
dt
tdi
R
dt
tid
L
.0
2
221
2
C
ti
tpiRtiLp
Подставим уравнение 1) в 2) и исключим ток i
2
(t):
;
1
2111
tu
d
t
tdi
LtiRtiR
.
1
1
11
2
ti
dt
tdi
R
L
R
tu
ti
Отсюда найдем:
2
2
1
1
2
1
2
2
1
2
dt
tdi
R
LR
dt
tdu
R
R
dt
tid
L
0
1
1
11
12
ti
Cdt
tdi
CR
L
CR
tu
dt
tdiR
i
или
,
0210
1
1
2
1
2
2
tub
dt
tdu
btia
dt
tdi
a
dt
tid
a
где постоянные коэффициенты
i
, b
i
определяются параметрами цепи:
.;
1
;1;;
1
1
2
1
1
0
1
2
2
1
210
R
R
b
CR
b
R
R
La
CR
L
Ra
C
a
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
Данный подход можно обобщить. Для общего случая многоконтур-
ной цепи получим следующее уравнение:
;
...
0
1
1
1
0
1
1
1
tubtu
dt
d
btu
dt
d
b
tiati
dt
d
a
dt
tid
a
m
m
m
m
m
m
n
n
n
n
n
n
(1.26)
.......
0
1
10
1
1
tubtupbtupbtiatipatipa
m
m
m
m
n
n
n
n
В левой части уравнения (1.26) находятся члены, содержащие иско-
мую реакцию – в данном случае i(t) и ее производные, а в правой части –
возбуждение u(t) и его производные. В общем случае mn t .
Главнейшие свойства дифференциальных уравнений
а) Пропорциональность: изменение возбуждения в K раз (K – веще-
ственный или комплексный коэффициент пропорциональности)
приве-
дет к изменению реакции также в K раз.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 25
- 26
- 27
- 28
- 29
- …
- следующая ›
- последняя »
