Математический анализ. Методические рекомендации. Бондарева Е.В. - 38 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

— 38 —
Ïîëó÷å ûé çàêî÷åðåäóþùèéñÿ ðÿä óäîâëåòâîðÿåò óñ-
ëîâèÿ ïðèç àêà Ëåéá èöà. Òðåòèé ÷ëå ýòîãî ðÿäà ïî àáñî-
ëþòíîé âåëè÷èíå åíüøå 0,001, ïîýòî ó äëÿ îáåñïå÷å èÿ òðå-
áóåìîé òî÷íîñòè íóæíî ïðîñóììèðîâàòü ïåðâûå äâà ÷ëå à ðÿäà.
Èòàê,
048,0
160
1
24
1
2
1
0
2
2
=−≈
∫
−
dxex
x
.
Çàäàíèå 4.  çàäà÷àõ 4.1—4.20 ðàçëîæèòü ôóíêöèþ f (x)
ðÿä Ôóðüå ïî êîñèíóñàì íà îòðåçêå [0; p].
4.1.
()
2
−=
xxf
4.10.
()
xxf
+
π
=
2
4.2.
()
xxf 21
−=
4.11.
()
13
+=
xxf
4.3.
()
xxf 3
=
4.12.
()
xxf
4
1
+π−=
4.4.
()
12
+=
xxf
4.13.
()
32
+−=
xxf
4.5.
()
xxf
−=
1
4.14.
()
17
−=
xxf
4.6.
()
1
−−=
xxf
4.15.
()
2
+π=
xxf
4.7.
()
12
−=
xxf
4.16.
()
1
+π=
xxf
4.8.
()
xxf
−π=
4.17.
()
2
π
−=
xxf
4.9.
()
xxf 2
−π=
4.18.
()
xxf 2
2
−
π
=
Ðåøåíèå òèïîâîãî ïðèìåðà
Ðàçëîæèòü ôóíêöèþ f(x)=
()
2
1
2
xxf
−
π
=
â ðÿä Ôóðüå ïî
êîñèíóñàì íà îòðåçêå [0; π].
Ðåøåíèå. Òàê êàê ïî óñëîâèþ ðÿä äîëæåí ñîäåðæàòü òîëü-
êî êîñèíóñû êðàòíûõ äóã, òî ñëåäóåò ïðîäîëæèòü çàäàí óþ ôó -
êöèþ íà îòðåçîê [−π, 0]. ÷åòíûì îáðàçîì.
Äëÿ îïðåäåëåíèÿ êîýôôèöèåíòîâ ðÿäà Ôóðüå ïðè åÿå
ôîðìóëû
    Ïîëó÷å ûé ç àêî÷åðåäóþùèéñÿ ðÿä óäîâëåòâîðÿåò óñ-
ëîâèÿ ïðèç àêà Ëåéá èöà. Òðåòèé ÷ëå ýòîãî ðÿäà ïî àáñî-
ëþòíîé âåëè÷èíå åíüøå 0,001, ïîýòî ó äëÿ îáåñïå÷å èÿ òðå-
áóåìîé òî÷íîñòè íóæíî ïðîñóììèðîâàòü ïåðâûå äâà ÷ëå à ðÿäà.
     Èòàê,
                   1
                   2
                                        1   1
                  ∫x e
                        2 −x2
                                dx ≈      −   = 0,048 .
                   0
                                       24 160

    Çàäàíèå 4.  çàäà÷àõ 4.1—4.20 ðàçëîæèòü ôóíêöèþ f (x)
ðÿä Ôóðüå ïî êîñèíóñàì íà îòðåçêå [0; p].
                                                               π
    4.1. f (x ) = x − 2                      4.10. f (x ) =      +x
                                                               2
    4.2. f (x ) = 1 − 2 x                    4.11. f (x ) = 3 x + 1
                                                                  1
    4.3. f (x ) = 3 x                        4.12. f (x ) = − π +   x
                                                                  4
    4.4. f (x ) = 2 x + 1                    4.13. f (x ) = − 2 x + 3
    4.5. f (x ) = 1 − x                      4.14. f (x ) = 7 x − 1
    4.6. f (x ) = − x − 1                    4.15. f (x ) = π x + 2
    4.7. f (x ) = 2 x − 1                    4.16. f (x ) = π x + 1
                                                                  π
    4.8. f (x ) = π − x                      4.17. f (x ) = x −
                                                                  2
                                                              π
    4.9. f (x ) = π − 2 x                    4.18. f (x ) =     − 2x
                                                              2
    Ðåøåíèå òèïîâîãî ïðèìåðà
                                                π 1
    Ðàçëîæèòü ôóíêöèþ f(x)= f (x ) =             − x â ðÿä Ôóðüå ïî
                                                2 2
êîñèíóñàì íà îòðåçêå [0; π].
     Ðåøåíèå. Òàê êàê ïî óñëîâèþ ðÿä äîëæåí ñîäåðæàòü òîëü-
êî êîñèíóñû êðàòíûõ äóã, òî ñëåäóåò ïðîäîëæèòü çàäàí óþ ôó -
êöèþ íà îòðåçîê [−π, 0]. ÷åòíûì îáðàçîì.
     Äëÿ îïðåäåëåíèÿ êîýôôèöèåíòîâ ðÿäà Ôóðüå ïðè å ÿå
ôîðìóëû


                                  — 38 —

Страницы