Математический анализ. Методические рекомендации. Бондарева Е.В. - 37 стр.

                       12
                                       dx                                                sin 4 x
                       ∫
                                                                                   1 4

        3.13.
                       0 4           (1 + x )   4 3                        3.17.   ∫0       x
                                                                                                 dx

                                                                                   12
                       1 4
                                      xdx
        3.14.          ∫0
                             3
                                     1+ x         2
                                                                           3.18.   ∫ x cos
                                                                                    0
                                                                                                 2 xdx

                       1 2
                             arctg x                                               arctgx 2
                                                                                    12

        3.15.          ∫0       x
                                     dx                                    3.19. ∫
                                                                                 0    x
                                                                                            dx

                  13
                        sin 3 x                                                    ln (1 + x 2 )
                                                                                    12

     3.16.         ∫            dx                                         3.20. ∫              dx
                   0       x                                                     0      x
     Ðåøåíèå òèïîâîãî ïðèìåðà
                                                                                            1
                                                                                            2

                                                                                            ∫x e
                                                                                                2 −x2
        Âû÷èñëèòü ñ òî÷íîñòü äî 0,001 èíòåãðàë:                                                         dx ïóòå
                                                                                            0

ïðåäâàðèòåëüíîãî ðàçëîæåíèÿ ïîäûíòåãðàëüíîé ôóíêöèè â ñòå-
ïåííîé ðÿä è ïî÷ëåííîãî èíòåãðèðîâàíèÿ ýòîãî ðÿäà.
    Ðåøåíèå. Â ðàçëîæåíèè ôóíêöèè åõ â ñòåïåííîé ðÿä
                       1    1           1
                                     ex = 1 +
                         x + x 2 + ... + x n + ...
                      1!    2!          n!
çàìåíèì õ íà –õ2. Òîãäà ïîëó÷èì
                                               1
                        e−x = 1+
                                 2
                                                  (− x2 )+ 1 (− x2 )2 + ...+ 1 (− x2 )n + ...
                                               1!          2!                n!
     Óìíîæàÿ ýòîò ðÿä ïî÷ëåííî íà õ2, áóäåì è åòü
                                                        1 4    1 6 1 8
                       x 2e−x = x 2 −
                                       2
                                                           x +    x −    x + .....
                                                        1!     2!     3!
     Ñëåäîâàòåëüíî,
    1                                      1
    2                                      2
                                                 2 1 4 1 6 1 8                 
    ∫x
                 −x2
             e          dx =               ∫     x − 1 ! x + 2 ! x − 3 ! x + K  dx =
         2

    0                                      0                                   
                                                                   1

      x3 1 x5   1 x7                                             2
                                                                            1   1   1
    =   −     +      −K                                              =      −   +    −K
      3 1! 5    2! 7                                            0
                                                                           24 160 1792

                                                           — 37 —