Математический анализ. Методические рекомендации. Бондарева Е.В. - 35 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

— 35 —
2.11. a=7,b=5,k=4; 2.16. a=4,b=5,k=3;
2.12. a=5,b=7,k=4; 2.17. a=6,b=7,k=4;
2.13. a=3,b=8,k=5; 2.18. a=5,b=8,k=2;
2.14. a=4,b=7,k=3; 2.19. a=8,b=3,k=4;
2.15. a=2,b=5,k= 3; 2.20. a=9,b=2,k=5.
Ðåøåíèå òèïîâîãî ïðèìåðà
Íàéòè ðàäèóñ ñõîäèìîñòè ñòåïåííîãî ðÿäà
()
.
71
1
1
n
n
n
x
n
∑
∞
=
+
Îïðåäåëèòü õàðàêòåð ñõîäèìîñòè ðÿäà íà êîíöàõ è òåðâàëà
ñõîäèìîñòè.
Ðåøåíèå. Çàïèøåì çàäàííûé ðÿä ñëåäóþùè îáðàçî :
() ()
KK
+
+
+
+
++
⋅
+
⋅
+
1
2
2
72
1
71
1
73
1
72
1
n
n
n
n
x
n
xx
Îáùèé ÷ëåí ðÿäà
()
.
71
1
n
n
x
n
u
+
=
Äëÿ èññëåäîâàíèÿ ðÿäà íà àáñîëþòíóþ ñõîäè îñòü ïðè å-
íèì ïðèçíàê Äàëàìáåðà:
()
()
()
2
1
7
1
lim
27
71
limlim
1
1
1
x
n
n
xn
xn
u
u
d
n
nn
nn
n
n
n
n
=
+
+
=
+
+
==
∞→
+
+
∞→
+
∞→
.
7
1
2
1
1
1
7
1
lim
7
1
x
n
n
x
n
=
+
+
⋅=
∞→
Òàêèì îáðàçîì, ïðè
,1
7
1
<x
òî åñòü ïðè –7<x<7 èñõîä-
íûé ðÿä ñõîäèòñÿ àáñîëþòíî.
Âûÿñíèì âîïðîñ î ñõîäèìîñòè ðÿäà íà êîíöàõ è òåðâàëà
ñõîäèìîñòè, òî åñòü â òî÷êàõ x = –7, x =7. Ïðè x= 7 çàäà-
íûé ðÿä ïðèíèìàåò âèä
()
()
()
() ()
.
1
1
171
71
1
7
71
1
111
+
−=−
+
=−
+
∑∑∑
∞
=
∞
=
∞
=
n
nn
n
n
nn
n
n
n
n
n
Ýòî ÷èñëîâîé çíàêî÷åðåäóþùèéñÿ ðÿä. Åãî îáùèé ÷ëå ïî
àáñîëþòíîé âåëè÷èíå ìîíîòîííî óáûâàåò è ñòðå èòñÿ ê óëþ
     2.11. a = 7, b = 5, k = 4;                               2.16.   a = 4,    b = 5, k = 3;
     2.12. a = 5, b = 7, k = 4;                               2.17.   a = 6,    b = 7, k = 4;
     2.13. a = 3, b = 8, k = 5;                               2.18.   a = 5,    b = 8, k = 2;
     2.14. a = 4, b = 7, k = 3;                               2.19.   a = 8,    b = 3, k = 4;
     2.15. a = 2, b = 5, k = 3;                               2.20.   a = 9,    b = 2, k = 5.
     Ðåøåíèå òèïîâîãî ïðèìåðà
                                                                          ∞

                                                                         ∑ (n + 1)7n
                                                                                    1
    Íàéòè ðàäèóñ ñõîäèìîñòè ñòåïåííîãî ðÿäà                                                xn .
                                                                         n =1
Îïðåäåëèòü õàðàêòåð ñõîäèìîñòè ðÿäà íà êîíöàõ è òåðâàëà
ñõîäèìîñòè.
     Ðåøåíèå. Çàïèøåì çàäàííûé ðÿä ñëåäóþùè îáðàçî :
           1        1                 1                1
               x+        x2 + K +            xn +               +K
          2 ⋅7    3 ⋅ 72          (n + 1)7 n      (n + 2 )7 n+1
                                            1
    Îáùèé ÷ëåí ðÿäà u =                            xn.
                                        (n + 1)7 n
    Äëÿ èññëåäîâàíèÿ ðÿäà íà àáñîëþòíóþ ñõîäè îñòü ïðè å-
íèì ïðèçíàê Äàëàìáåðà:

          d = lim
                    (un +1 )   = lim
                                         (n + 1) x n +1 7 n    = lim
                                                                       1 n +1
                                                                              x=
              n→∞     un         n →∞   7 n +1 (n + 2 ) x n      n→∞   7 n+2
                                               1
                                            1+
                                1         1    n  1
                               = x ⋅ lim         = x .
                                7    n →∞ 7    2 7
                                            1+
                                               n
                         1
    Òàêèì îáðàçîì, ïðè     x < 1, òî åñòü ïðè –7 < x < 7 èñõîä-
                         7
íûé ðÿä ñõîäèòñÿ àáñîëþòíî.
    Âûÿñíèì âîïðîñ î ñõîäèìîñòè ðÿäà íà êîíöàõ è òåðâàëà
ñõîäèìîñòè, òî åñòü â òî÷êàõ x = –7, x = 7. Ïðè x = 7 çàäà -
íûé ðÿä ïðèíèìàåò âèä
      ∞                      ∞                       ∞
     ∑ (n + 1)7n (    )     ∑ (n + 1)7n (   )       ∑                   (− 1) n
           1                      1                                                 1
                  − 7   n
                          =              − 1  n n
                                               7  =                                    .
     n =1                   n =1                    n =1                          n +1
    Ýòî ÷èñëîâîé çíàêî÷åðåäóþùèéñÿ ðÿä. Åãî îáùèé ÷ëå ïî
àáñîëþòíîé âåëè÷èíå ìîíîòîííî óáûâàåò è ñòðå èòñÿ ê óëþ

                                         — 35 —

Страницы