Математический анализ. Методические рекомендации. Бондарева Е.В. - 34 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

— 34 —
1.13.
()
∑
∞
=
+
1
122
1
n
nn
1.17.
()
∑
∞
=
+
1
1
1
n
nn
1.14.
∑
∞
=
+
1
2
41
1
n
n
1.18.
∑
∞
=
+
1
13
1
n
n
1.15.
∑
∞
=
1
2
n
n
e
n
1.19.
()
∑
∞
=
+
1
1
1
n
nn
1.16.
34
1
1
∑
∞
=
−
n
n
1.20.
∑
∞
=
+
1
2
1
1
n
nn
Ðåøåíèå òèïîâîãî ïðèìåðà
Èññëåäîâàòü íà ñõîäèìîñòü ðÿä
()
∑
∞
=
+
1
1
5
n
n
nn
.
Ðåøåíèå. Îáùèé ÷ëåí ðÿäà
()
,
1
5
+
=
nn
u
n
n
òîãäà
()( )
21
5
1
1
++
=
+
+
nn
u
n
n
.
Ïðèìåíÿåì ïðèçíàê Äàëàìáåðà è âû÷èñëÿå ïðåäåë:
()
()( )
5
2
5
lim
521
15
limlim
1
1
=
+
=
⋅++
+⋅
==
∞→
+
∞→
+
∞→
n
n
nn
nn
u
u
d
n
n
n
n
n
n
n
.
Òàê êàê d > 1, òî ðÿä ðàñõîäèòñÿ.
Çàäàíèå 2.  çàäà÷àõ 2.1—2.20 äàí ñòåïåííîé ðÿä
∑
∞
=
1n
k
n
nn
nb
xa
.
Íàïèñàòü ïåðâûå ÷åòûðå ÷ëåíà ðÿäà, íàéòè èíòåðâàë ñõî-
äèìîñòè ðÿäà è âûÿñíèòü âîïðîñ î ñõîäèìîñòè ðÿäà à êî öàõ
èíòåðâàëà. Çíà÷åíèÿ à, b è k äàíû.
2.1. a =2,b=3, k=4; 2.6. a =6,b=5, k=3;
2.2. a =3,b=4, k=5; 2.7. a =5,b=2, k=4;
2.3. a =4,b=3, k=3; 2.8. a =2,b=3, k=5;
2.4. a =5,b=6, k=2; 2.9. a =3,b=5, k=6;
2.5. a=3,b=7, k=3; 2.10. a =2,b=7, k=3;
              ∞
                                 1                                       ∞
                                                                                 1
     1.13.   ∑ 2 n (2 n + 1)
             n =1
                                                                1.17.   ∑n(n +1)
                                                                        n=1

              ∞
                         1                                               ∞
                                                                                 1
     1.14.   ∑ 1 + 4n
             n =1
                                     2                          1.18.   ∑      3n + 1
                                                                        n =1


              ∞
                         n                                               ∞
                                                                                    1
     1.15.   ∑                                                  1.19.   ∑
             n =1    e   n   2
                                                                        n =1   (n + 1 ) n
              ∞
                      1                                                  ∞
                                                                                     1
     1.16.   ∑       4n − 3                                     1.20.   ∑
                                                                               n 1 + n2
             n =1                                                       n =1


     Ðåøåíèå òèïîâîãî ïðèìåðà
                                                                ∞
                                           5n
     Èññëåäîâàòü íà ñõîäèìîñòü ðÿä ∑              .
                                   n =1 n (n + 1)
     Ðåøåíèå. Îáùèé ÷ëåí ðÿäà

                                                     5n
                                          un =              ,
                                                  n (n + 1)
                5n +1
òîãäà un +1 =             .
           (n + 1)(n + 2)
     Ïðèìåíÿåì ïðèçíàê Äàëàìáåðà è âû÷èñëÿå                                          ïðåäåë:
                    u n +1           5     ⋅ n (n + 1)
                                             n +1
                                                                 5n
     d = lim               = lim                          = lim       = 5.
          n→ ∞       un      n → ∞ (n + 1 )(n + 2 ) ⋅ 5 n   n→∞ n + 2

     Òàê êàê d > 1, òî ðÿä ðàñõîäèòñÿ.

                                                                                          ∞
                                                       an xn
                                                  ∑ bn k n .
     Çàäàíèå 2.  çàäà÷àõ 2.1—2.20 äàí ñòåïåííîé ðÿä
                                                  n =1
    Íàïèñàòü ïåðâûå ÷åòûðå ÷ëåíà ðÿäà, íàéòè èíòåðâàë ñõî-
äèìîñòè ðÿäà è âûÿñíèòü âîïðîñ î ñõîäèìîñòè ðÿäà à êî öàõ
èíòåðâàëà. Çíà÷åíèÿ à, b è k äàíû.
      2.1.    a = 2, b = 3,              k = 4;              2.6.       a = 6, b = 5,         k = 3;
      2.2.    a = 3, b = 4,              k = 5;              2.7.       a = 5, b = 2,         k = 4;
      2.3.    a = 4, b = 3,              k = 3;              2.8.       a = 2, b = 3,         k = 5;
      2.4.    a = 5, b = 6,              k = 2;              2.9.       a = 3, b = 5,         k = 6;
      2.5.    a = 3, b = 7,              k = 3;             2.10.       a = 2, b = 7,         k = 3;

                                             — 34 —

Страницы