Математический анализ. Методические рекомендации. Бондарева Е.В. - 36 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

— 36 —
ïðè n →∞. Òàêè îáðàçî , îáà óñëîâèÿ ïðèç àêà Ëåéá èà
âûïîë å û, è ðÿä ñõîäèòñÿ (óñëîâ î), ò. å. òî÷êà =7 ïðè-
íàäëåæèò îáëàñòè ñõîäè îñòè çàäàííîãî ñòåïåííîãî ðÿäà.
Ïðè õ = 7 èñõîäíûé ðÿä ïðèíèìàåò âèä
()
()
...
1
1
...
4
1
3
1
2
1
1
1
7
71
1
11
+
+
++++=
+
=−
+
∑∑
∞
=
∞
=
nnn
n
n
n
n
Ýòî ÷èñëîâîé çíàêîïîëîæèòåëüíûé ðÿä, êîòîðûé, î÷å-
âèäíî, ðàñõîäèòñÿ (ñðàâíèòå åãî ñ ãàðìîíè÷åñêè ðÿäî ). Ñëå-
äîâàòåëüíî, òî÷êà õ = 7 íå ïðèíàäëåæèò îáëàñòè ñõîäè îñòè
çàäàííîãî ñòåïåííîãî ðÿäà.
Òàêèì îáðàçîì, îáëàñòü ñõîäèìîñòè èñõîäíîãî ñòåïåî-
ãî ðÿäà –7 < x < 7. Âíå ýòîãî èíòåðâàëà ðÿä ðàñõîäèòñÿ.
Çàäàíèå 3.  çàäà÷àõ 3.1—3.20 òðåáóåòñÿ âû÷èñëèòü îïðåäå-
ëåííûé èíòåãðàë ñ òî÷íîñòüþ äî 0,001 ïóòåì ïðåäâàðèòåëü î-
ãî ðàçëîæåíèÿ ïîäûíòåãðàëüíîé ôóíêöèè â ðÿä è ïî÷ëå îãî
èíòåãðèðîâàíèÿ ýòîãî ðÿäà.
3.1.
dx
x
x
∫
1
0
3
sin
3.7.
∫
1
0
2
cos xdxx
3.2.
∫
+
21
0
3
1 x
xdx
3.8.
()
dxxx
∫
+
41
0
1ln
3.3.
∫
1
0
cos
xdxx
3.9.
xdxxx
∫
1
0
sin
3.4.
dxxe
x
∫
−
−
1
0
2
3.10.
()
∫
+
21
0
2
3
3
1
x
dx
3.5.
dxxe
x
∫
−
41
0
3.11.
∫
+
21
0
44
1x
xdx
3.6.
()
dx
x
x
∫
+
21
0
2
2
1ln
3.12.
∫
−
1
0
1,0
3
dxe
x
ïðè n → ∞. Òàêè îáðàçî , îáà óñëîâèÿ ïðèç àêà Ëåéá è à
âûïîë å û, è ðÿä ñõîäèòñÿ (óñëîâ î), ò. å. òî÷êà = 7 ïðè-
íàäëåæèò îáëàñòè ñõîäè îñòè çàäàííîãî ñòåïåííîãî ðÿäà.
    Ïðè õ = 7 èñõîäíûé ðÿä ïðèíèìàåò âèä
       ∞
            1               1 1 1 1      ∞
                                                      1
      ∑ (n +1)7 (− 7) = ∑ n + 1 = 2 + 3 + 4 + ... + n +1 + ...
      n=1
                        n
                                     n

                                         n=1

     Ýòî ÷èñëîâîé çíàêîïîëîæèòåëüíûé ðÿä, êîòîðûé, î÷å-
âèäíî, ðàñõîäèòñÿ (ñðàâíèòå åãî ñ ãàðìîíè÷åñêè ðÿäî ). Ñëå-
äîâàòåëüíî, òî÷êà õ = 7 íå ïðèíàäëåæèò îáëàñòè ñõîäè îñòè
çàäàííîãî ñòåïåííîãî ðÿäà.
     Òàêèì îáðàçîì, îáëàñòü ñõîäèìîñòè èñõîäíîãî ñòåïå î-
ãî ðÿäà –7 < x < 7. Âíå ýòîãî èíòåðâàëà ðÿä ðàñõîäèòñÿ.

     Çàäàíèå 3.  çàäà÷àõ 3.1—3.20 òðåáóåòñÿ âû÷èñëèòü îïðåäå-
ëåííûé èíòåãðàë ñ òî÷íîñòüþ äî 0,001 ïóòåì ïðåäâàðèòåëü î-
ãî ðàçëîæåíèÿ ïîäûíòåãðàëüíîé ôóíêöèè â ðÿä è ïî÷ëå îãî
èíòåãðèðîâàíèÿ ýòîãî ðÿäà.
                                                                1
             1
                   sin x                                3.7. ∫ x cos xdx
                                                                2
     3.1.
             ∫
             0
                    3
                      x
                         dx                                     0




                                                                    ∫ x ln (1 +                 )
              1 2
                       xdx                                      1 4

      3.2.        ∫
                  0    1+ x3
                                                        3.8.
                                                                    0
                                                                                            x dx

             1                                                  1

     3.3.    ∫ x cos xdx
             0
                                                        3.9.    ∫x
                                                                0
                                                                               x sin            xdx

             −1
                                                                12
                                                                                dx
             ∫                                                      ∫
                                2
                      xe − x dx
     3.4.                                               3.10.
                                                                              (1 + x )
                                                                                            2
                                                                                        3
                                                                    0 3
             0

             1 4                                                    1 2
                                                                              xdx
             ∫ xe                                                   ∫
                       −
     3.5.
                            x
                                dx                      3.11.
              0                                                      0
                                                                          4
                                                                              1+ x4

            ln (1 + x 2 )
             12                                                 1

     3.6. ∫              dx                                     ∫e
                                                                          − 0 ,1 x 3
                                                        3.12.                          dx
          0      x2                                             0




                                               — 36 —

Страницы