Математический анализ. Методические рекомендации. Бондарева Е.В. - 32 стр.

     Ïðåæäå ÷å ïðèñòóïèòü ê ðåøå èþ çàäà÷ ýòîé òå û, å-
îáõîäè î èçó÷èòü ïðèç àêè ñõîäè îñòè äëÿ ÷èñëîâûõ ðÿäîâ:
íåîáõîäè ûé ïðèçíàê ñõîäè îñòè ðÿäà; îñíîâíûå ñâîéñòâà ñõî-
äÿùèõñÿ ðÿäîâ; äîñòàòî÷íûå ïðèçíàêè ñõîäèìîñòè, îñ îâà -
íûå íà ñðàâíåíèè ðÿäîâ; ïðèçíàê ñõîäèìîñòè Äàëà áåðà; è -
òåãðàëüíûé ïðèçíàê ñõîäèìîñòè Êîøè; ïðèçíàê Ëåéá èöà. Äà-
ëåå ñëåäóåò èçó÷èòü ïîíÿòèÿ àáñîëþòíîé è óñëîâíîé ñõîäè î-
ñòè ÷èñëîâûõ ðÿäîâ, à òàêæå ñïîñîá íàõîæäåíèÿ ðàäèóñà ñõî-
äèìîñòè ñòåïåííîãî ðÿäà.
      çàäà÷àõ íà ïðèáëèæåííîå âû÷èñëåíèå îïðåäåëå îãî è -
òåãðàëà ñ ïîìîùüþ ðàçëîæåíèÿ ïîäûíòåãðàëüíîé ôó êöèè â
ðÿä ïîòðåáóþòñÿ ñëåäóþùèå ðàçëîæåíèÿ ýëåìåíòàðíûõ ôó ê-
öèé â ñòåïåííûå ðÿäû:
                   1     1        1
    1) e x = 1 +      x + x2 + K + xn + K;                (− ∞ < x < ∞);
                   1!    2!       n!
                     1 3 1 5                      1
    2) sin x = x −      x + x − K + (− 1)                                (−∞ < x < ∞ );
                                         n −1
                                                         x 2 n−1 + K;
                     3!    5!                 (2 n − 1)!
                     1 2 1 4                    1
                        x + x − K + (− 1)                            (− ∞ < x < ∞ );
                                         n −1
    3) cos x = 1 −                                  x 2 n + K;
                     2!    4!                 (2n)!
                          1       1                       1 n
    4) ln(1+ x) = x − x + x −K+ (−1)                                    (−1 < x < 1 ).
                                                    n+1
                              2       3
                                                            x + K;
                          2       3                       n
      Ïðè èçó÷åíèè ðÿäîâ Ôóðüå îáðàòèòå âíèìàíèå à ñïîñî-
áû ðàçëîæåíèÿ â ðÿä Ôóðüå ôóíêöèè, çàäàííûõ íà îòðåçêå [0; e].
Åñëè ýòó ôóíêöèþ ïðîäîëæèòü íà îòðåçîê [–å; 0] ÷åò û îáðà-
çîì, òî ïîëó÷åííîå ïðè ýòîì ðàçëîæåíèå â ðÿä Ôóðüå áóäåò
ñîäåðæàòü ëèøü êîñèíóñû êðàòíûõ äóã è áóäåò ïðåäñòàâëÿòü äà -
íóþ ôóíêöèþ íà çàäàííîì îòðåçêå [0; å]. Àíàëîãè÷íî ïîñòóïà-
þò, åñëè òðåáóåòñÿ ïðåäñòàâèòü ôóíêöèþ, çàäàííóþ à îòðåçêå
[0; å], òðèãîíîìåòðè÷åñêèì ðÿäîì, ñîäåðæàùè ëèøü ñè óñû
êðàòíûõ äóã.
    Âîïðîñû äëÿ ñàìîïðîâåðêè
     1. Êàêîé ðÿä íàçûâàåòñÿ ñõîäÿùèìñÿ (ðàñõîäÿùè ñÿ)?
     2. Ñôîðìóëèðóéòå íåîáõîäèìîå óñëîâèå ñõîäè îñòè ðÿäà.
     3. Ñôîðìóëèðóéòå ïðèçíàêè ñðàâíåíèÿ çíàêîïîëîæèòåëü-
    íûõ ðÿäîâ.


                                      — 32 —