Математический анализ. Методические рекомендации. Бондарева Е.В. - 31 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

— 31 —
 äà î ñëó÷àå âûïîëåî óñëîâèå åçàâèñèîñòè êðè-
âîëè åé îãî è òåãðàëà îò ïóòè è òåãðèðîâàèÿ
,
dx
dQ
dy
dP
=
ãäå
.
2
3
,3
22
yxQxyxP +=+=
Äåéñòâèòåëüíî, .3,3 x
dx
dQ
x
dy
dP
==
Âûáåðåì â êà÷åñòâå êîíòóðà èíòåãðèðîâàíèÿ íàèáîëåå ïðî-
ñòîé êîíòóð, ñâÿçûâàþùèé òî÷êè Ì è N, íàïðè åð, ëî à óþ,
çâåíüÿ êîòîðîé ïàðàëëåëüíû îñÿì êîîðäèíàò:
y
M
3
1
N
021
x
y = 1
x = 2
Èìååì íà ïåðâîì ó÷àñòêå
y=1, dy = 0, 1 ≤ x ≤ 2;
íà âòîðîì ó÷àñòêå
x = 2, dx = 0, 1 ≤ y ≤ 2.
Òàêèì îáðàçîì,
()
()
.
6
5
22
1
3
2
6
1
2
2
3
3
63
223
3
1
2
1
2
=
++
+=+++=
∫∫
y
y
xx
dyydxxxI
ÓÊÀÇÀÍÈß Ê ÂÛÏÎËÍÅÍÈÞ
ÊÎÍÒÐÎËÜÍÎÉ ÐÀÁÎÒÛ ¹ 4
Òåìà 1. ×èñëîâûå è ôóíêöèîíàëüíûå ðÿäû
Ðåêîìåíäóåìàÿ ëèòåðàòóðà: [1], ãë. 16, § 1—3, 6—8, 13,
17, 19—21; ãë. 17, § 1—6; [2], ÷. II, ãë. 3, § 1—6, 8.
     äà î ñëó÷àå âûïîë å î óñëîâèå åçàâèñè îñòè êðè-
âîëè åé îãî è òåãðàëà îò ïóòè è òåãðèðîâà èÿ
                                           dP dQ
                                             =   ,
                                           dy dx

                                   3 2
ãäå P = x 2 + 3xy ,           Q=     x + y.
                                   2
                               dP                        dQ
      Äåéñòâèòåëüíî,              = 3x,                     = 3 x.
                               dy                        dx
     Âûáåðåì â êà÷åñòâå êîíòóðà èíòåãðèðîâàíèÿ íàèáîëåå ïðî-
ñòîé êîíòóð, ñâÿçûâàþùèé òî÷êè Ì è N, íàïðè åð, ëî à óþ,
çâåíüÿ êîòîðîé ïàðàëëåëüíû îñÿì êîîðäèíàò:
                                   y

                                   3                 N




                                           M                 x=2
                                   1
                                               y=1


                                       0       1         2         x

      Èìååì íà ïåðâîì ó÷àñòêå
                     y = 1, dy = 0, 1 ≤ x ≤ 2;
      íà âòîðîì ó÷àñòêå
                    x = 2, dx = 0, 1 ≤ y ≤ 2.
      Òàêèì îáðàçîì,


      ∫ (x           )                      x 3 3x 2  2      y2  3
      2                   3
                 + 3 x dx + ∫ (6 + y )dy =
                                                                         5
 I=          2
                                                +      + 6y +     = 22 .
                                                                 
      1                     1               3    2  1        2  1    6


                     ÓÊÀÇÀÍÈß Ê ÂÛÏÎËÍÅÍÈÞ
                     ÊÎÍÒÐÎËÜÍÎÉ ÐÀÁÎÒÛ ¹ 4
          Òåìà 1. ×èñëîâûå è ôóíêöèîíàëüíûå ðÿäû
      Ðåêîìåíäóåìàÿ ëèòåðàòóðà: [1], ãë. 16, § 1—3, 6—8, 13,
      17, 19—21; ãë. 17, § 1—6; [2], ÷. II, ãë. 3, § 1—6, 8.

                                           — 31 —

Страницы