Математический анализ. Методические рекомендации. Бондарева Е.В. - 29 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

— 29 —
()
.
3
232
8
0
2
cos
3
216
sin
3
216
16
sincos
3
216
16
0
8
sin
3
cos
32
4
2
0
2
0
332
−π=
π
ϕ+ϕ−ϕ=
=ϕ
ϕ+ϕ−
=ϕ
ϕ−ϕ−⋅=
∫∫
ππ
d
d
rrr
Ïðèìåð 2. Íàéòè îáúåì
òåëà, îãðàíè÷åííîãî ïîâåðõ-
íîñòÿìè õ
2
+ ó
2
= 9; õ
2
+ z
2
= 9
è ðàñïîëîæåííîãî â ïåðâîì
îêòàíòå.
Ðåøåíèå. Çàäàííîå òåëî îã-
ðàíè÷åíî äâóìÿ êðóãîâûìè öè-
ëèíäðàìè. Èñêîìûé îáúåì âû-
ðàæàåòñÿ èíòåãðàëîì
,9
2
dydxxV
D
∫∫
−=
ãäå D – ÷åòâåðòü êðóãà ðàäèóñà,
ðàâíîãî 3. Òàêèì îáðàçîì,
99
3
0
9
0
2
3
0
9
0
2
22
=
−=−=
∫∫∫∫
−−
dxdyxdyxdxV
xx
=
()
.18
3
27
27
0
3
3
99
0
9
9
3
3
0
2
2
3
0
2
=−=
−=−=
−
−
∫∫
x
xdxxdx
x
yx
Çàäàíèå 5.  çàäà÷àõ 5.1—5.10 óñòàíîâèòü íåçàâèñè îñòü îò
ïóòè èíòåãðèðîâàíèÿ è âû÷èñëèòü êðèâîëèíåéíûé è òåãðàë
ïî êîíòóðó, ñâÿçûâàþùåìó òî÷êè Ì (1; 2) è N (3; 5).
5.1.
()
()
dyxdxyx 522
3
−−−
∫
5.2.
()
()
dyyxdxxy
+++
∫
2
21
5.3.
()
()
dyyxdxyx 3
2
−−−
∫
ó
x
z
3
3
3
x
2
+ z
2
= 9
x
2
+
y
2
= 9
0
  π                                                                    π        16 2                 
  2  r 2 r 3       r3      8                                       2
                                                                           16 −      (cos ϕ + sin ϕ ) dϕ =
= ∫   4 ⋅ − cos ϕ − sin ϕ      dϕ =                            ∫              3                  
  0 
          2 3       3       0                                      0



                                                       π
                           16 2         16 2         2       32 2
                =  16 ϕ −      sin ϕ +      cos ϕ  = 8 π −      .
                             3            3          0         3

     Ïðèìåð 2. Íàéòè îáúåì                                                     z
òåëà, îãðàíè÷åííîãî ïîâåðõ-
                                                                                                x2+ z2 = 9
íîñòÿìè õ 2 + ó 2 = 9; õ 2 + z 2 = 9                                               3

è ðàñïîëîæåííîãî â ïåðâîì
îêòàíòå.
     Ðåøåíèå. Çàäàííîå òåëî îã-                                                                                  x2+ y2 = 9
ðàíè÷åíî äâóìÿ êðóãîâûìè öè-
ëèíäðàìè. Èñêîìûé îáúåì âû-                                                    0
                                                                                                             3
ðàæàåòñÿ èíòåãðàëîì                                                                                                           ó

          V = ∫∫ 9 − x dx dy,  2
                                                                   3
                 D                                         x
ãäå D – ÷åòâåðòü êðóãà ðàäèóñà,
             ðàâíîãî 3. Òàêèì îáðàçîì,
                           3       9− x 2                 3                           9− x 2
                     V = ∫ dx       ∫       9 − x dy = ∫  9 − x 2
                                                 2
                                                                                        ∫  dx =
                                                                                          dy
                                                       0
                                                         
                           0        0                                                   0    

                    9 − x 2 
                                                 (   
                                                               )
                                                            x3  3
        3                            3
                                                                       27
      = ∫ 9 − x  y            dx = ∫ 9 − x 2 dx =  9 x −  = 27 −    = 18.
               2
                                                          3 0        3
        0             0            0



    Çàäàíèå 5.  çàäà÷àõ 5.1—5.10 óñòàíîâèòü íåçàâèñè îñòü îò
ïóòè èíòåãðèðîâàíèÿ è âû÷èñëèòü êðèâîëèíåéíûé è òåãðàë
ïî êîíòóðó, ñâÿçûâàþùåìó òî÷êè Ì (1; 2) è N (3; 5).

                ∫ (x − 2 y )dx − (2 x                     − 5 )dy
                       3
         5.1.

                ∫ (1 + 2 xy )dx + (x                      + y )dy
                                                      2
         5.2.

                ∫ (x       − y )dx − (x − 3 y )dy
                       2
         5.3.


                                                     — 29 —

Страницы