Математический анализ. Методические рекомендации. Бондарева Е.В. - 28 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

— 28 —
4.15. 2;4
22222
=+=++
y
xz
y
x .
4.16.
0;3;3;8
2222
===+−−= yyyxyxz
.
4.17.
0;0;;
2
1
;
8
1
22
====++=+ zyxyzyxyx
.
4.18.
0;
3
;3;1
22
===−−= z
x
yxyyxz
.
4.19.
3;4
22222
=+=++ yxzyx
.
4.20.
0;6;0;;18
22
==++===+ zzyxyxyyx
.
Ðåøåíèå òèïîâûõ ïðèìå-
ðîâ
Ïðèìåð 1. Âû÷èñëèòü
îáúåì òåëà, îãðàíè÷å îãî ïî-
âåðõíîñòÿìè x
2
+ y
2
= 8, x =0,
y= 0, z =0, x+y+z=4 è
ðàñïîëîæåííîãî â ïåðâî îê-
òàíòå.
Ðåøåíèå. Çàäà îå òåëî
îãðàíè÷åíî êðóãîâû öèëè -
äðîì x
2
+ y
2
= 8, êîîðäè àò û-
ìè ïëîñêîñòÿìè è ïëîñêîñòüþ
x + y + z =4.
Îáúåì öèëèíäðè÷åñêîãî òåëà, îãðàíè÷åííîãî ñâåðõó ïî-
âåðõíîñòüþ z = f(x, y), ñíèçó — ïëîñêîñòüþ z =0 è ïî áîêà —
ïðÿìîé öèëèíäðè÷åñêîé ïîâåðõíîñòüþ, âûðåçàþùåé à ïëîñ-
êîñòè õÎó îáëàñòü D, âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå
()
., dydxyxfV
D
∫∫
=
 äàííîì ñëó÷àå îáëàñòü D — ýòî ÷àñòü êðóãà ðàäèóñî
8
,
ðàñïîëîæåííàÿ â ïåðâîì êâàäðàíòå, ïîýòîìó ðàññ àòðèâàå ûé
èíòåãðàë óäîáíî âû÷èñëÿòü â ïîëÿðíûõ êîîðäèíàòàõ. Ïðè ýòî
ϕ=ϕ=ϕ= rdrddydxryrx ,sin,cos
.
Òàêèì îáðàçîì,
() ( )
sincos44
2
0
8
0
=ϕ−ϕ−ϕ−−=
∫∫∫∫
π
rdrrrddydxyxV
D
x
0
y
z
4
4
x + y + z = 4
x
2
+ y
2
=8
    4.15. x + y + z = 4 ;                              x 2 + y 2 = 2.
              2           2       2



    4.16. z = 8 − x − y ;                             x 2 + y 2 = 3;       y=    3;   y = 0.
                   2   2


                              1        1
    4.17. x + y = ;         x + y + z = ; y = x; y = 0; z = 0 .
              2       2

                              8        2
                                           x
    4.18. z = 1 − x2 − y 2 ; y = 3 x; y =     ; z = 0.
                                            3
    4.19. x 2 + y 2 + z 2 = 4 ;                         x 2 + y 2 = 3.
    4.20. x 2 + y 2 = 18;                y = x;                 y = 0;   x + y + z = 6;   z = 0.
          z                                                           Ðåøåíèå òèïîâûõ ïðèìå-
                                                                ðîâ
                          x+y+z=4
                                                                     Ïðèìåð 1. Âû÷èñëèòü
                                                                îáúåì òåëà, îãðàíè÷å îãî ïî-
                                                                âåðõíîñòÿìè x2 + y2 = 8, x = 0,
                                        x 2+ y2 =8              y = 0, z = 0, x + y + z = 4 è
                                                                ðàñïîëîæåííîãî â ïåðâî îê-
              0
                                                                òàíòå.
                                          4             y            Ðåøåíèå. Çàäà îå òåëî
     4
                                                                îãðàíè÷åíî êðóãîâû öèëè -
x                                                               äðîì x2 + y2 = 8, êîîðäè àò û-
                                                                ìè ïëîñêîñòÿìè è ïëîñêîñòüþ
x + y + z = 4.
      Îáúåì öèëèíäðè÷åñêîãî òåëà, îãðàíè÷åííîãî ñâåðõó ïî-
âåðõíîñòüþ z = f(x, y), ñíèçó — ïëîñêîñòüþ z = 0 è ïî áîêà —
ïðÿìîé öèëèíäðè÷åñêîé ïîâåðõíîñòüþ, âûðåçàþùåé à ïëîñ-
êîñòè õÎó îáëàñòü D, âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå
                                      V = ∫∫ f (x, y ) dx dy.
                                              D

     äàííîì ñëó÷àå îáëàñòü D — ýòî ÷àñòü êðóãà ðàäèóñî  8,
ðàñïîëîæåííàÿ â ïåðâîì êâàäðàíòå, ïîýòîìó ðàññ àòðèâàå ûé
èíòåãðàë óäîáíî âû÷èñëÿòü â ïîëÿðíûõ êîîðäèíàòàõ. Ïðè ýòî
              x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, dx dy = rd rdϕ .
Òàêèì îáðàçîì,
                                                  π
                                                  2         8

         V = ∫∫ (4 − x − y )dx dy ∫ d ϕ ∫ (4 − r cos ϕ − r sin ϕ )rdr =
                  D                               0      0


                                                  — 28 —

Страницы