Моделирование зонной структуры полупроводников. Бормонтов Е.Н - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

18
Рис. 4. Графическое решение уравнения (24) для трех значений V
0
a
2
.
Вертикальные пунктирные линии представляют первые две
асимптоты кривых η = – ξ tgξ .
4.3. Приближение слабосвязанных электронов
Приближение слабосвязанных электронов исходит из того, что
потенциал решетки в нулевом приближении V
0
(r) является постоянной
величиной , а возмущение δV(r) << V
0
(r) – периодической функцией с
периодом, равным постоянной решетки . Поэтому модель кристалла в
таком приближении можно представлять в виде трехмерного
потенциального ящика со слаборифленым дном.
Так как потенциал решетки в приближении слабосвязанных
электронов мало отличается от потенциала решетки в приближении
свободных электронов, то естественно искать решение уравнения
Шредингера (1) в виде плоских волн . Однако наличие периодически
меняющейся составляющей потенциала решетки должно изменить это
решение так , чтобы оно стало также периодической функцией с периодом
постоянной решетки , поскольку только в этом случае волновая функция
будет правильно выражать периодически повторяющееся распределение
плотности электронных облаков в ячейках кристалла.
Таким образом, из свойств периодичности силового поля кристалла
вытекает , что решением уравнения Шредингера (1) является функция
Блоха (8)
ψ
k
(r) = U
k
(r) exp(ikr), 
                                     18




      Ри с. 4. Граф и ческоереш ени еуравнени я (24) для т рех значени й V0a2.
       В ерт и кальны епункт и рны ели ни и предст авляю т первы едве
                        аси мпт от ы кри вы х η = –ξ tgξ .

             4.3. П риб лиж ение с лаб ос вязанных электронов

      П ри бли ж ени е слабосвязанны х э лект ронов и сх оди т и з т ого, что
пот енци ал реш ет ки внулевом при бли ж ени и V0(r) являет ся пост оянной
вели чи ной , а возмущ ени е δV(r) << V0(r) – пери оди ческой ф ункци ей с
пери одом, равны м пост оянной реш ет ки . П оэ т ому модель кри ст алла в
т аком при бли ж ени и мож но предст авлят ь в ви де т рех мерного
пот енци ального ящ и касо слабори ф лены м дном.
      Т ак как пот енци ал реш ет ки в при бли ж ени и слабосвязанны х
э лект ронов мало от ли чает ся от пот енци ала реш ет ки в при бли ж ени и
свободны х э лект ронов, т о ест ест венно и скат ь реш ени е уравнени я
Ш реди нгера (1) в ви де плоски х волн. О днако нали чи е пери оди чески
меняю щ ей ся сост авляю щ ей пот енци ала реш ет ки долж но и змени т ь э т о
реш ени е т ак, чтобы оно ст ало т акж е пери оди ческой ф ункци ей спери одом
пост оянной реш ет ки , поскольку т олько вэ т ом случае волновая ф ункци я
будет прави льно вы раж ат ь пери оди чески повторяю щ ееся распределени е
плот ност и э лект ронны х облаковвячей ках кри ст алла.
      Т аки м образом, и з свой ст впери оди чност и си лового поля кри ст алла
вы т екает , что реш ени ем уравнени я Ш реди нгера (1) являет ся ф ункци я
Блох а(8)
                              ψk (r) = Uk (r) exp(ikr),

Страницы