Моделирование зонной структуры полупроводников. Бормонтов Е.Н - 17 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

17
.
amV
2
2
0
22
2
h
=η+ξ
Поскольку величины ξ и η могут принимать только положительные
значения, уровни энергии определяются (лежащими в первом квадранте)
точками пересечения кривой η = ξ tgξ с окружностью эаданного радиуса
(2mV
0
a
2
/
h
2
)
1/2
. На рис. 3 изображено необходимое построение для трех
значений
V
0
a
2
. Двум меньшим значениям этого произведения
принадлежит по одному, а большему – два решения уравнения (25).
На рис. 4 аналогичное построение проведено для уравнения (24),
когда уровни энергии определяются пересечением тех же окружностей с
кривой η = – ξ tgξ (в первом квадранте). Для наименьшего значения V
0
a
2
решение отсутствует , а двум другим принадлежит по одному решению.
Таким образом, всего для трех последовательно возрастающих значений
V
0
a
2
имеется соответственно один, два и три уровня энергии.
Из рис. 3 и 4 ясно , что при заданной массе частицы уровни энергии
зависят от параметров потенциальной ямы через произведение V
0
a
2
. Если
значение V
0
a
2
лежит между нулем и
π
2
h
2
/8m, то имеется лишь один
уровень энергии первого класса; в области π
2
h
2
/8m≤ V
0
a
2
≤ π
2
h
2
/2m имеется
по одному уровню энергии каждого класса , т. е. всего два уровня . По мере
возрастания V
0
a
2
уровни энергии последовательно появляются то для
одного класса решений, то для другого. С помощью (20) нетрудно видеть,
что если расположить собственные функции в порядке возрастания
собственных значений, то у n-й собственной функции будет n-1 узел.
Рис. 3. Графическое решение уравнения (25) для трех значений V
0
a
2
.
Вертикальные пунктирные линии представляют первые две
асимптоты кривых η = ξ tgξ . 
                                       17
                                          2mV0 a 2
                              2
                                ξ +η =
                                   2
                                                   .
                                             h2
П оскольку вели чи ны ξ и η могут при ни мат ь т олько полож и т ельны е
значени я, уровни э нерги и определяю т ся (леж ащ и ми впервом квадрант е)
т очками пересечени я кри вой η = ξ tgξ с окруж ност ью э аданного ради уса
(2mV0a2/h2)1/2. Н а ри с. 3 и зображ ено необх оди мое пост роени е для т рех
значени й        V0a2. Д вум меньш и м значени ям э т ого прои зведени я
при надлеж и т по одному, абольш ему–двареш ени я уравнени я (25).
       Н а ри с. 4 аналоги чное пост роени е проведено для уравнени я (24),
когда уровни э нерги и определяю т ся пересечени ем т ех ж е окруж ност ей с
кри вой η = – ξ tgξ (впервом квадрант е). Д ля наи меньш его значени я V0a2
реш ени е от сут ст вует , а двум други м при надлеж и т по одному реш ени ю .
Т аки м образом, всего для т рех последоват ельно возраст аю щ и х значени й
V0a2 и меет ся соот вет ст венно оди н, дваи т ри уровня э нерги и .
       И з ри с. 3 и 4 ясно, что при заданной массечаст и цы уровни э нерги и
зави сят от парамет ровпот енци альной ямы через прои зведени е V0a2. Е сли
значени е V0a2 леж и т меж ду нулем и π2h2/8m, т о и меет ся ли ш ь оди н
уровень э нерги и первого класса; вобласт и π2h2/8m≤ V0a2≤ π2h2/2m и меет ся
по одномууровню э нерги и каж дого класса, т . е. всего двауровня. П о мере
возраст ани я V0a2 уровни э нерги и последоват ельно появляю т ся т о для
одного классареш ени й , т о для другого. С помощ ью (20) нет рудно ви дет ь,
что если располож и т ь собст венны е ф ункци и в порядке возраст ани я
собст венны х значени й , т о уn-й собст венной ф ункци и будет n-1 узел.




      Ри с. 3. Граф и ческоереш ени еуравнени я (25) для т рех значени й V0a2.
       В ерт и кальны епункт и рны ели ни и предст авляю т первы едве
                         аси мпт от ы кри вы х η = ξ tgξ .

Страницы