Моделирование зонной структуры полупроводников. Бормонтов Е.Н - 19 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

19
представляющая собой плоскую волну, амплитуда которой модулирована
периодической функцией U
k
(r) с периодом, равным постоянной решетки .
Конкретный вид функции U
k
(
r
) определяется видом потенциальной
функции V
(r), входящей в уравнение Шредингера (1).
Для более полной иллюстрации методов слабой и сильной связи и
установления особенностей энергетического спектра электронов в
кристалле, вытекающих из этих приближений, обратимся к модели
линейного кристалла, впервые рассмотренной Кронигом и Пенни .
5. Модель Кронига – Пенни
Характерные особенности энергетического спектра можно узнать,
рассматривая простейшую одномерную модель периодического
потенциала, предложенную Р. Кронигом и В . Пенни . В основу этой
модели положена правильная цепочка прямоугольных потенциальных ям и
барьеров, показанная на рис. 5. Ширина каждой потенциальной ямы равна
а, и они отделены друг от друга потенциальными барьерами толщиной b и
высотой V
0
. Период потенциала решетки при этом равен с=а+b, т. е.
(
)
(
)
(
)
...cxVcxVxV
=
+
=
+
=
2
V (x)
V
0
-b 0 a a+b x
Рис. 5. Зависимость потенциальной энергии электрона
в модели Кронига – Пенни .
Для описания состояния электрона в этом потенциале необходимо
решить одномерное волновое уравнение (18)
()
,ExV
dx
d
m
ψ=ψ+
ψ
−
2
22
2
h
причем , учитывая периодичность потенциала V ( x ), решение следует
искать в виде функции Блоха
(
)
(
)
,exUx
ikx
=
ψ
(26)
где U(x) - периодическая функция с периодом решетки c:
(
)
(
)
(
)
...cxUcxUxU
=
+
=
+
=
2 
                                          19
предст авляю щ ая собой плоскую волну, ампли т уда кот орой модули рована
пери оди ческой ф ункци ей Uk (r) с пери одом, равны м пост оянной реш ет ки .
К онкрет ны й ви д ф ункци и Uk (r) определяет ся ви дом пот енци альной
ф ункци и V (r), входящ ей вуравнени еШ реди нгера(1).
       Д ля более полной и ллю ст раци и мет одовслабой и си льной связи и
уст ановлени я особенност ей э нергет и ческого спект ра э лект ронов в
кри ст алле, вы т екаю щ и х и з э т и х при бли ж ени й , обрат и мся к модели
ли ней ного кри ст алла, впервы ерассмот ренной К рони гом и П енни .

                            5. М одель К рониг а– П енни

       Х аракт ерны е особенност и э нергет и ческого спект ра мож но узнат ь,
рассмат ри вая прост ей ш ую            одномерную            модель пери оди ческого
пот енци ала, предлож енную Р. К рони гом и В . П енни . В основу э т ой
модели полож енаправи льная цепочкапрямоугольны х пот енци альны х ям и
барьеров, показанная нари с. 5. Ш и ри накаж дой пот енци альной ямы равна
а, и они от делены друг от друга пот енци альны ми барьерами т олщ и ной b и
вы сот ой V0. П ери од пот енци алареш ет ки при э т ом равен с =а+b, т . е.
                         V ( x ) = V ( x + c ) = V ( x + 2c ) = ...

                                  V (x)

                                  V0




                             -b 0       a a+b                x
           Ри с. 5. Зави си мост ь пот енци альной э нерги и э лект рона
                    вмодели К рони га–П енни .

       Д ля опи сани я сост ояни я э лект рона вэ т ом пот енци але необх оди мо
реш и т ь одномерноеволновоеуравнени е(18)
                                h 2 d 2ψ
                            −               + V ( x )ψ = Eψ ,
                                2m dx 2
при чем, учи т ы вая пери оди чност ь пот енци ала V(x), реш ени е следует
и скат ь вви деф ункци и Блох а
                                   ψ ( x ) = U ( x )e ikx ,                 (26)
гдеU(x) - пери оди ческая ф ункци я спери одом реш ет ки c:
                        U ( x ) = U ( x + c ) = U ( x + 2c ) = ...

Страницы