Моделирование зонной структуры полупроводников. Бормонтов Е.Н - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

16
Конечный скачок потенциала. Если потенциальная энергия имеет
вид, показанный на рис. 2, б , то общее решение (20), по - прежнему
справедливое при x < a , так как уравнение (19) в этой области не меняется ,
необходимо дополнить решением в области x>a. В этой области (вне
потенциальной ямы ) волновое уравнение имеет вид
,EV
dx
d
m
ψ=ψ+
ψ
−
0
2
22
2
h
и его общее решение при E < V
0
(для связанного состояния) дается
формулой
()()
,/EVm,DeCex
xx
h−=β+=ψ
ββ−
0
2 (21)
причем , в силу ограниченности волновой функции на бесконечности в
области x>a нужно принять равной нулю константу D, а в области x<–a –
константу С .
Наложим теперь на решения (20) и (21) условия непрерывности
волновой функции ψ и ее производной dψ/dx в граничных точках x=±a:
,CeacosBasinA
a β−
=
α
+
α
,CeasinBacosA
a β−
β
−
=
α
α
−
α
α
,DeacosBasinA
a β−
=
α
+
α
−
.DeasinBacosA
a β−
β
=
α
α
+
α
α
Отсюда получаем
(
)
,eDCasinA
a β−
−
=
α
2
(
)
,eDCacosA
a β−
−
β
−
=
α
α
2 (22)
(
)
,eDCacosB
a β−
+
=
α
2
(
)
.eDCasinB
a β−
+
β
=
α
α
2 (23)
При А ≠ 0 и С ≠ D из уравнений (22) следует :
.
a
β
−
=
α
α
(24)
Аналогично при В ≠ 0 и С ≠ –D из уравнений (24) получим
.
a
tg
β
=
α
α
(25)
Уравнения (24) и (25) нельзя удовлетворить одновременно , так как ,
исключив из них β, мы получим tg
2
αa = –1, откуда в противоречии с (21)
следует , что α – мнимое, а β – отрицательное число. Нельзя также
требовать, чтобы все постоянные A, B, C и D обращались в нуль . Поэтому
решения снова можно разделить на два класса. Для первого класса
A = 0, C = D и α tg
αa = β,
а для второго класса
B = 0, C = –D и
α
ctg
α
a =
β
.
Энергетический спектр электронов (разрешенные уровни энергии)
находится путем численного или графического решения уравнений (24) и
(25), где α и β определяются выражениями (20) и (21).
Рассмотрим графический метод решения, позволяющий с полной
ясностью выявить зависимость числа дискретных уровней от V
0
и а.
Положим ξ = αa, η = βа; тогда уравнение (25) примет вид ξ tgξ = η
, причем 
                                             16
     К онечный с качок потенциала. Е сли пот енци альная э нерги я и меет
ви д, показанны й на ри с. 2, б , т о общ ее реш ени е (20), по-преж нему
справедли воепри xa. В э т ой област и (вне
пот енци альной ямы ) волновоеуравнени еи меет ви д
                               h 2 d 2ψ
                             −          + V0 ψ = Eψ ,
                               2m dx 2
и его общ ее реш ени е при E < V0 (для связанного сост ояни я) дает ся
ф ормулой

                    ψ ( x ) = Ce −βx + De βx ,    β = 2m(V0 − E ) / h ,              (21)
при чем, вси лу ограни ченност и волновой ф ункци и на бесконечност и в
област и x>a нуж но при нят ь равной нулю конст ант уD, авобласт и x<–a –
конст ант уС .
      Н алож и м т еперь на реш ени я (20) и (21) услови я непреры вност и
волновой ф ункци и ψ и еепрои зводной dψ/dx вграни чны х т очках x=±a:
       A sin αa + B cos αa = Ce −βa ,  αA cos αa − αB sin αa = −β Ce −βa ,
      − A sin αa + B cos αa = De −βa ,           αA cos αa + αB sin αa = βDe −βa .
О т сю даполучаем
             2 A sin αa = (C − D )e −βa ,         2αA cos αa = −β(C − D )e −βa ,     (22)
             2 B cos αa = (C + D )e − βa ,        2αB sin αa = β(C + D )e − βa .     (23)
П ри А ≠ 0 и С ≠ D и з уравнени й (22) следует :
                               αctgαa = −β.                                          (24)
А налоги чно при В ≠ 0 и С ≠ –D и з уравнени й (24) получи м
                               αtgαa = β.                                            (25)
       У равнени я (24) и (25) нельзя удовлет вори т ь одновременно, т ак как,
и склю чи ви з ни х β, мы получи м tg2 αa = –1, от кудавпрот и воречи и с(21)
следует , что α – мни мое, а β – от ри цат ельное чи сло. Н ельзя т акж е
т ребоват ь, чтобы всепост оянны е A, B, C и D обращ али сь внуль. П оэ т ому
реш ени я сновамож но раздели т ь надвакласса. Д ля первого класса
                         A = 0, C = D и α tg αa = β,
адля второго класса
                       B = 0, C = –D и α ctg αa = β.
       Э нергет и чески й спект р э лект ронов(разреш енны е уровни э нерги и )
нах оди т ся пут ем чи сленного и ли граф и ческого реш ени я уравнени й (24) и
(25), гдеα и β определяю т ся вы раж ени ями (20) и (21).
       Рассмот ри м граф и чески й мет од реш ени я, позволяю щ и й с полной
ясност ью вы яви т ь зави си мост ь чи слади скрет ны х уровней от V0 и а.
П олож и м ξ = αa, η = βа; т огдауравнени е(25) при мет ви д ξ tgξ = η, при чем

Страницы